Question

(90^69 + 69^90) делится ли на 7

Answer 1

Ответ:

Да, делится.

Пошаговое объяснение:

Здесь можно решить задачу через сравнение по модулям и остатки.

90^69 = 6^69 по модулю 7.

6^69 = 6^34 × 6^34 × 6 = 36^17 × 36^17 × 6.

36^17 × 36^17 × 6 = 1^17 × 1^17 × 6 по модулю 7.

1^17 × 1^17 × 6 = 1 × 1 × 6 = 6.

Следовательно 90^69 равняется 6 по модулю 7, а значит имеет остаток 6 при делении на 7.

Тоже самое делаем с 69^90.

69^90 = 6^90 = (-1)^90 = 1^45 = 1 по модулю 7. З

Значит 69^90 имеет остаток 1 при делении на 7.

Значит 90^69 + 69^90 по модулю 7 равняется 6 + 1 = 7.

А 7 по модулю 7 = 0, значит сумма имеет остаток 0 при делении на 7, то есть сумма этих двух чисел делится нацело на 7.

Answer 2

Для проверки, делится ли выражение (90^69 + 69^90) на 7, необходимо найти остаток от деления этого выражения на 7. Если остаток равен 0, то выражение делится на 7, в противном случае оно не делится на 7.

Однако, вычислить точное значение данного выражения является сложной задачей, так как числа 90^69 и 69^90 очень велики. Поэтому для упрощения вычислений, воспользуемся свойством модулярной арифметики:

Если a ≡ b (mod n), то a^k ≡ b^k (mod n) для любого целого k.

Заметим, что 90 ≡ 6 (mod 7) и 69 ≡ 6 (mod 7). Поэтому можем переписать исходное выражение следующим образом:

(90^69 + 69^90) ≡ (6^69 + 6^90) (mod 7).

Теперь мы можем посчитать остатки от деления степеней 6 на 7 и сложить их:

6^1 ≡ 6 (mod 7), 6^2 ≡ 1 (mod 7), 6^3 ≡ 6 (mod 7), 6^4 ≡ 1 (mod 7), ...

Мы видим, что степени 6 чередуются между 6 и 1 с остатками от деления на 7. Таким образом, (6^69 + 6^90) будет иметь остаток от деления на 7, равный остатку от деления (6^1 + 6^2) на 7.

6^1 ≡ 6 (mod 7), 6^2 ≡ 1 (mod 7).

Теперь сложим остатки: 6 + 1 = 7.

Таким образом, (90^69 + 69^90) делится на 7, так как остаток от деления равен 0.