Question

Розв'яжіть нерівність |x^3-1| > 1-x

Answer 1

Решение.

Неравенство с модулем .

$\bf |x^3-1| > 1-x$  

Рассмотрим два случая: когда выражение под знаком модуля неотрицательно, и когда оно отрицательно .

$\bf a)\ \ x^3-1\geq 0\ \ \to \ \ \ x^3\geq 1\ \ ,\ \ x\geq 1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ |x^3-1|=x^3-1\ \ ,\\\\x^3-1 > 1-x\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (x-1)(x^2+x+1) > -(x-1)\ \ ,\\\\(x-1)(x^2+x+1)+(x-1) > 0\ \ ,\\\\(x-1)(x^2+x+1+1) > 0\ \ ,\\\\(x-1)(x^2+x+2) > 0$  

Так как дискриминант квадр. трёхчлена   $\bf x^2+x+2$  отрицателен ,

$\bf D=b^2-4ac=1-8=-7 < 0$  , то  при любых значениях  х  

квадратный трёхчлен   $\bf x^2+x+2 > 0$  .

Значит второй множитель тоже должен быть положительным:

$\bf x-1 > 0\ \ \Rightarrow \ \ \ x > 1$    

Если х=1 , то при подстановке 1 в неравенство вместо х  получим неверное утверждение :  $\bf |1^3-1| > 1-1\ \ ,\ \ 0 > 0$  .

Значит в случае  а)  получим ответ   $\bf x\in (\ 1\ ;+\infty )$  .

$\bf b)\ \ x^3-1 < 0\ \ \to \ \ x^3 < 1\ \ ,\ \ x < 1\ \ \Rightarrow \ \ |x^3-1|=1-x^3\\\\1-x^3 > 1-x\ \ \Rightarrow \ \ \ (1-x)(1+x+x^2) > 1-x\ \ ,\\\\ (1-x)(1+x+x^2)-(1-x) > 0\ \ ,\\\\(1-x)(x^2+x) > 0\ \ ,\ \ (1-x)\cdot x(x+1) > 0\ \ ,\\\\x(x-1)(x+1) < 0\\\\znaki:\ \ ---(-1)+++(0)---(1)\\\\x\in (-\infty ;-1)\cup (\ 0\ ;\ 1\ )$  

Объединяем оба ответа, получим окончательно

$\boldsymbol{x\in (-\infty ;-1\ )\cup (\ 0\ ;\ 1\ )\cup (\ 1\ ;+\infty \, )}\ .$    

Answer 2

Для розв'язання даної нерівності, розглянемо два випадки в залежності від значення виразу |x^3-1|.

Випадок 1: |x^3-1| > 1-x

Якщо |x^3-1| > 1-x, то ми можемо розділити дану нерівність на дві окремі нерівності:

x^3-1 > 1-x та -(x^3-1) > 1-x

Розв'яжемо першу нерівність:

x^3-1 > 1-x

x^3+x > 2

x(x^2+1) > 2

Так як ми шукаємо значення x, для яких нерівність справедлива, звернемо увагу на знаки виразів x і (x^2+1).

Замітимо, що x^2+1 завжди більше або рівне 1 (так як x^2 ніколи не може бути від'ємним числом). Тому нам треба знайти значення x, для яких x(x^2+1) > 2.

Враховуючи це, розв'яжемо нерівність x(x^2+1) > 2:

x(x^2+1) > 2

x^3+x > 2

x^3 > 2-x

Ми бачимо, що ми отримали нерівність x^3 > 2-x, яка має бути виконана в даному випадку.

Випадок 2: |x^3-1| > -(1-x)

Оскільки -|a| < a для будь-якого числа a, нерівність |x^3-1| > -(1-x) буде завжди справедлива. Тому будь-яке значення x буде задовольняти цю нерівність.

Отже, ми отримали два випадки:

1. x^3 > 2-x
2. Будь-яке значення x

Далі можна розв'язати перший випадок, x^3 > 2-x, за допомогою числових методів або графічного зображення функції.