Question

Найдите сумму всех целых положительных делителей числа 128•2023

Answer 1

Ответ: 1255016

Пошаговое объяснение:

Найдите сумму всех целых положительных делителей числа 128•2023

Если  разложение     числа  n   на простые множители    равно

$n = \rm 2^a \cdot 3^ b \cdot 5^c \cdot 7 ^d \cdot 11 ^e \cdot 13 ^f \ldots$

То сумма  всех делителей числа  n равна

$\sigma (n) = \dfrac{\rm (2^{a+1}-1)(3^{b+1}-1)(5^{c+1}-1) \ldots }{(2-1)(3-1)(5-1)\ldots}$

Найдем разложение  2023

$\begin{array}{r|l}2023& 7 \\ 289 & 17 \\ 17 & 17 \end{array}$

Теперь мы  можем записать полное разложение :

128•2023 = 2⁸ · 17² · 7

Находим сумму всех делителей данного числа

$\sigma (n) = \dfrac{\rm (2^{8+1}-1)(17^{2+1}-1)(7^{1+1}-1) }{(2-1)(17-1)(7-1)} =\dfrac{(512-1)(17^3-1)(49-1)}{(17-1)\cdot 6 } = \\\\\\=511\cdot 307\cdot 8 = 1255016$

Ps
Значение выражения

$\dfrac{(17^3-1)}{(17-1)}$

Можно найти воспользовавшись формулой

a³ - 1 =  (a -1)(a² + a + 1)

$\dfrac{(17^3-1)}{(17-1)}=\dfrac{(17-1)(17^2 + 17 \cdot 1 + 1)}{(17-1)}= 289 + 17 + 1 = 307$

#SPJ1

Answer 2

Для нахождения суммы всех целых положительных делителей числа 128 • 2023, сначала нам нужно разложить это число на простые множители.

128 можно разложить на простые множители следующим образом: 128 = 2^7. 2023 является простым числом.

Теперь, чтобы найти сумму всех целых положительных делителей, мы можем использовать формулу. Если число имеет разложение на простые множители в виде p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an, где pi - простые числа и ai - степени, то сумма всех делителей равна (p1^(a1+1) - 1) / (p1 - 1) * (p2^(a2+1) - 1) / (p2 - 1) * ... * (pn^(an+1) - 1) / (pn - 1).

Для числа 128 • 2023 = 256,384 найдем сумму делителей:

Сумма делителей = (2^(7+1) - 1) / (2 - 1) * (2023^1 - 1) / (2023 - 1) = (2^8 - 1) / 1 * (2023 - 1) / (2023 - 1) = (256 - 1) / 1 * 2022 / 1 = 255 * 2022 = 516,510

Таким образом, сумма всех целых положительных делителей числа 128 • 2023 равна 516,510.