Question

Найти производную 4pi*(1+cos^2(x)

Answer 1

Производная функции 4π(1 + cos^2(x)) может быть вычислена следующим образом:

1) Находим производную cos^2(x):

d/dx [cos^2(x)] = d/dx [cos(x)^2] = 2cos(x)sin(x) = sin(2x)

2) Находим производную функции 4π(1 + cos^2(x)):

d/dx [4π(1 + cos^2(x))] = 4π * d/dx [1 + cos^2(x)] = 4π * [0 + sin(2x)] = 4πsin(2x)

Таким образом, производная функции 4π(1 + cos^2(x)) равна 4πsin(2x).

Answer 2

Для нахождения производной функции $f(x) = 4\pi(1+\cos^2(x))$ используем правило дифференцирования произведения и цепного правила:

$$\begin{align*} f'(x) &= \frac{d}{dx} (4\pi) \cdot (1+\cos^2(x)) + (4\pi) \cdot \frac{d}{dx}(1+\cos^2(x)) \\ &= 0 \cdot (1+\cos^2(x)) + (4\pi) \cdot \frac{d}{dx}(1+\cos^2(x)) \\ &= (4\pi) \cdot \frac{d}{dx}(1+\cos^2(x)) \\ &= (4\pi) \cdot \left(0 + \frac{d}{dx}\cos^2(x)\right) \\ &= (4\pi) \cdot \left(0 + 2\cos(x)\cdot\frac{d}{dx}\cos(x)\right) \\ &= (4\pi) \cdot 2\cos(x)\cdot(-\sin(x)) \\ &= -8\pi\cos(x)\sin(x) \end{align*}$$

Таким образом, производная функции $f(x) = 4\pi(1+\cos^2(x))$ равна $-8\pi\cos(x)\sin(x)$.