Question

Y"-2y'+2y=0помогите пж ​

Answer 1

Уравнение, которое вы предоставили, является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы решить его, мы можем использовать метод характеристического уравнения.

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение, связанное с данным дифференциальным уравнением. Для этого заменим y на e^(rx), где r - неизвестная переменная:

r^2e^(rx) - 2re^(rx) + 2e^(rx) = 0

Шаг 2: Раскроем скобки:

e^(rx) (r^2 - 2r + 2) = 0

Шаг 3: Поскольку e^(rx) не равно нулю для любого значения r, получаем характеристическое уравнение:

r^2 - 2r + 2 = 0

Шаг 4: Решим характеристическое уравнение. Можно воспользоваться квадратным уравнением или формулой дискриминанта:

D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4

Так как дискриминант отрицательный, у нас будет два комплексных корня:

r = (2 ± √(-4)) / 2 = (2 ± 2i) / 2 = 1 ± i

Таким образом, получаем два комплексных корня: r1 = 1 + i и r2 = 1 - i.

Шаг 5: Итак, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Заменяя r1 и r2, получаем:

y = C1e^((1 + i)x) + C2e^((1 - i)x)

Можно также преобразовать это решение, используя формулу Эйлера:

y = C1e^x(cos(x) + i sin(x)) + C2e^x(cos(x) - i sin(x))

или

y = e^x(A cos(x) + B sin(x))

где A = C1 + C2 и B = i(C1 - C2) - произвольные постоянные.