Question

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке: X 2 f(x) x/8+2/x, x ∈ [1;6]​

Answer 1

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке [1, 6] необходимо вычислить значения функции f(x) для крайних точек отрезка и критических точек внутри отрезка.

1. Вычислим значение функции для крайних точек отрезка:

   • При x = 1: f(1) = (1/8) + 2/1 = 1/8 + 2 = 17/8
   • При x = 6: f(6) = (6/8) + 2/6 = 3/4 + 1/3 = 9/12 + 4/12 = 13/12

2. Вычислим значение функции внутри отрезка:

   • Для этого найдем критические точки, где производная функции равна нулю: f'(x) = 1/8 - 2/x^2 1/8 - 2/x^2 = 0 2/x^2 = 1/8 x^2 = 16 x = ±4

     Таким образом, критические точки находятся при x = 4 и x = -4.

   • Вычислим значения функции в критических точках: При x = 4: f(4) = (4/8) + 2/4 = 1/2 + 1/2 = 1

     При x = -4: f(-4) = (-4/8) + 2/-4 = -1/2 - 1/2 = -1

3. Теперь у нас есть следующие значения функции: f(1) = 17/8 f(6) = 13/12 f(4) = 1 f(-4) = -1

   Наименьшее значение функции на отрезке [1, 6] равно -1 (достигается в точке x = -4), а наибольшее значение равно 17/8 (достигается в точке x = 1).