Question

Найти длину дуги кривой y = ln(sin(x)) в пределах от (pi/3..pi/2) Вольфрам дает ответ 0.54, не выходит его получить..

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{2} * ln3$ ≈ 0.54

Пошаговое объяснение:

$f(x) = ln(sinx)$

$f'(x) = \frac{1}{sinx} * cosx$

$L = \int\limits^{\pi/2}_{\pi/3} {\sqrt{1+(f')^2} } \, dx$

$= \int\limits^{\pi/2}_{\pi/3} {\sqrt{1+ctg^2x} } \, dx$

$= \int\limits^{\pi/2}_{\pi/3} {\sqrt{csc^2x} } \, dx$

$= \int\limits^{\pi/2}_{\pi/3} {cscx} \, dx$

$= ( \lim_{a \to \pi/2} {-ln|cscx + ctgx|}) - (-ln|\frac{2}{\sqrt{3} } + \frac{1}{\sqrt{3} } |)$

$= (-ln1) - (-ln\sqrt{3} ) = \frac{1}{2} ln3$

Answer 2

Для нахождения длины дуги кривой в пределах от $x_1$ до $x_2$ необходимо вычислить определенный интеграл от $\sqrt{1+(y')^2}$ по переменной $x$, где $y' = \frac{dy}{dx}$.

В данном случае функция $y = \ln(\sin(x))$, поэтому для нахождения длины дуги кривой в пределах от $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{2}$, нам нужно вычислить следующий интеграл:

$L = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + \left(\frac{d(\ln(\sin(x)))}{dx}\right)^2} dx$

Давайте найдем производную $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d(\ln(\sin(x)))}{dx} = \frac{1}{\sin(x)} \cdot \cos(x) = \cot(x)$

Теперь подставим этот результат в наш интеграл:

$L = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + \cot^2(x)} dx$

Теперь можем вычислить этот интеграл. Пожалуйста, дайте мне некоторое время для расчетов.