Question

Найдите точку минимума функции у = 3х^5 – 5х^3.

Answer 1

Ответ:

х = 1

Пошаговое объяснение:

y' = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2 * (x^2 - 1) = 15x^2 * (x - 1) * (x + 1) = 0

x = 0

x = -1

x = 1

    +                     -                    -                    +

_______-1_________0_________1________

      /                     \                   \                   /

                                                      xmin

Answer 2

Чтобы найти точку минимума функции, необходимо найти её производную и приравнять её к нулю. В данном случае, у нас есть функция:

у = 3х^5 – 5х^3

Для нахождения производной, мы можем применить правило дифференцирования степенной функции. Производная функции у будет равна:

у' = 15х^4 - 15х^2

Теперь, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

15х^4 - 15х^2 = 0

Факторизуем это уравнение:

15х^2(х^2 - 1) = 0

Теперь, у нас есть два возможных значения х:

1. 15х^2 = 0 Это уравнение имеет один корень, x = 0.

2. (х^2 - 1) = 0 Это уравнение имеет два корня, x = 1 и x = -1.

Теперь, чтобы определить, является ли каждая из этих точек экстремумами, нам нужно проанализировать вторую производную функции. Возьмём вторую производную функции у:

у'' = 60х^3 - 30х

Вычислим значение второй производной для каждой из найденных точек:

1. Для x = 0: у''(0) = 60(0)^3 - 30(0) = 0 - 0 = 0

2. Для x = 1: у''(1) = 60(1)^3 - 30(1) = 60 - 30 = 30

3. Для x = -1: у''(-1) = 60(-1)^3 - 30(-1) = -60 + 30 = -30

Таким образом, получаем следующие результаты:

• x = 0 не является экстремумом, так как у''(0) = 0.
• x = 1 является точкой минимума, так как у''(1) > 0.
• x = -1 является точкой максимума, так как у''(-1) < 0.

Таким образом, точка минимума функции y = 3x^5 – 5x^3 находится при x = 1.