Question

Доказать, что для любого натурального числа n истинно утверждение (8^n +6):7

Answer 1

Доказать, что для любого натурального числа n истинно утверждение (8^n +6):7

1. проверим для n=1

(8^1 + 6) / 7 = 14/7 да делится

2. пусть для n=k верно

3. докажем что верно для n=k+1

8^(k+1) + 6 = 8*8^k + 6 = 7*8^k + (8^k+6)

получилт два слагаемых первое делится на 7 - один из множителей кратен 7, а второе по утверждению 2

доказали

Answer 2

Докажем утверждение с помощью математической индукции

Метод заключается в следующем:

1) Проверяем истинность утверждения для n=1

2) Предполагаем, что данное утверждение истинно и пытаемся доказать его для n+1

$1) n=1: \medskip \\ 8^1+6=14 \medskip \\ 7\mid14 \medskip \\ 2)8^n+6=7M \Rightarrow 6=7M-8^n \medskip \\ 8^{n+1}+6=8\cdot8^n+6=8\cdot8^n+7M-8^n=7\cdot8^n+7M=\medskip\\=7(8^n+M) \medskip \\ 7 \mid 7(8^n+M)$

Утверждение доказано

Answer 3

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг базы: Проверим, что утверждение верно для n = 1. Подставим n = 1 в исходное утверждение: (8^1 + 6) : 7 = (8 + 6) : 7 = 14 : 7 = 2. Таким образом, утверждение верно для n = 1.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого n = k, то есть (8^k + 6) : 7 = m, где m - целое число.

Докажем, что утверждение также верно для n = k + 1. Подставим n = k + 1 в исходное утверждение: (8^(k+1) + 6) : 7 = ((8^k * 8) + 6) : 7 = ((8^k * 7 + 8^k) + 6) : 7 = (8^k * 7 + 6 + 8^k) : 7 = (8^k * 7 + 8^k + 6) : 7. Разложим числа 8^k * 7 и 8^k + 6 по модулю 7: (8^k * 7 + 8^k + 6) : 7 ≡ (1 * 7 + 1 + 6) : 7 (по свойству 8^k ≡ 1 (mod 7)). (8^k * 7 + 8^k + 6) : 7 ≡ 14 : 7 ≡ 2 (по свойству деления по модулю).

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для некоторого натурального числа n = k, то оно также верно для n = k + 1.

Так как утверждение верно для n = 1 (шаг базы), и из предположения о верности для произвольного n = k следует его верность для n = k + 1 (шаг индукции), по принципу математической индукции мы можем сделать вывод, что утверждение верно для любого натурального числа n.