Question

2) Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(0,0,1) В(2,3,5) С(6,2,3) D(3,7,2).

Answer 1

Даны координаты вершин А(0,0,1) В(2,3,5) С(6,2,3) D(3,7,2).

Находим векторы:

АВ(2; 3; 4),

АС(6; 2; 2),

AD(3; 7;  1).

Векторное произведение АВ х АС:

i         j         k |        i          j

2       3         4 |       2        3

6       2         2 |       6        2    =    6i + 24j + 4k - 4j - 8i - 18k =

                                               =    -2i + 20j  - 14k  =  (-2; 20; -14).

Находим смешанное произведение векторов (АВ х АС) * AD.

  (АВ х АС) = (-2; 20; -14).

  AD = (3; 7;  1).

(АВ х АС) * AD = -6 + 140 - 14 = 120.

Объём пирамиды равен 1/6 смешанного произведения.

Ответ: V = (1/6)*120 = 20.

Answer 2

Для нахождения объема треугольной пирамиды с вершинами A(0,0,1), B(2,3,5), C(6,2,3) и D(3,7,2), мы можем использовать формулу, основанную на методе тройного произведения:

V = (1/6) * |(AB · AC) × AD|,

где AB - вектор, соединяющий вершины A и B, AC - вектор, соединяющий вершины A и C, AD - вектор, соединяющий вершины A и D, × - векторное произведение, | | - модуль вектора.

Начнем с вычисления векторов AB, AC и AD:

AB = B - A = (2, 3, 5) - (0, 0, 1) = (2, 3, 4), AC = C - A = (6, 2, 3) - (0, 0, 1) = (6, 2, 2), AD = D - A = (3, 7, 2) - (0, 0, 1) = (3, 7, 1).

Теперь найдем векторное произведение (AB · AC) × AD:

(AB · AC) × AD = (AB × AC) × AD = (2, 3, 4) × (6, 2, 2) × (3, 7, 1).

Вычислим векторное произведение между AB и AC:

(2, 3, 4) × (6, 2, 2) = ((3 * 2 - 4 * 2), (4 * 6 - 2 * 2), (2 * 2 - 3 * 6)) = (-2, 20, -14).

Теперь найдем векторное произведение между полученным результатом и AD:

(-2, 20, -14) × (3, 7, 1) = ((20 * 1 - (-14) * 7), (-2 * 1 - (-14) * 3), (-2 * 7 - 20 * 3)) = (98, 40, -74).

Теперь найдем модуль этого вектора:

|(98, 40, -74)| = √(98^2 + 40^2 + (-74)^2) = √(9604 + 1600 + 5476) = √16680 = 129.16 (округленно до двух знаков после запятой).

Таким образом, объем треугольной пирамиды равен:

V = (1/6) * |(AB · AC) × AD| = (1/6) * 129.16 = 21.5267 (округленно до четырех знаков после запятой).

Таким образом, объем треугольной пирамиды составляет примерно 21.5267 единицы объема.