Question

Круг разбили на 10 секторов, которые нумеруются по кругу в каком-либо порядке числами 1, 2, ... , 10. Для данной нумерации можно рассмотреть величину, равную наименьшей из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов. Каково наибольшее возможное значение этой величины при всех возможных нумерациях секторов круга?

Answer 1

4 - наибольшее возможное значение величины, равной наименьшей из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов. Один из вариантов расположения номеров секторов на рис.1.

5 и более получить невозможно, так как для числа 5 с одной стороны можно расположить сектор с номером 10 (10-5=5), а с другой стороны получить разность, более 4, нельзя, так как   5-1=4   и   9-5=4.

Аналогично для числа 6. Если с одной стороны можно получить разность 6-1=5, то с другой стороны более 4 не получится, так как    10-6=4    и    6-2=4.    Рис.2 и рис.3

Answer 2

Чтобы определить наибольшее возможное значение этой величины, нам нужно найти такую нумерацию секторов круга, при которой разность между номерами соседних секторов будет максимальна.

Предположим, что мы начинаем нумерацию секторов с числа 1. Затем мы можем выбрать любую из оставшихся девяти цифр для следующего сектора. В этом случае разность между первым и вторым секторами будет равна 1.

Для третьего сектора у нас есть восемь оставшихся цифр, и мы можем выбрать любую из них. Чтобы максимизировать разность между вторым и третьим секторами, мы должны выбрать наименьшее из оставшихся чисел. Таким образом, разность будет равна 1.

Аналогично, для четвертого сектора мы можем выбрать из семи оставшихся чисел, и снова мы должны выбрать наименьшее из них, чтобы максимизировать разность между третьим и четвертым секторами. И так далее.

В конечном итоге мы получим следующую нумерацию секторов: 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10. При такой нумерации наибольшая разность между соседними секторами составит 2.

Таким образом, наибольшее возможное значение этой величины при всех возможных нумерациях секторов круга равно 2.