Question

Докажите, что множество чисел вида 12k, где k ∈ N, счетно.

Answer 1

Обозначим наше множество чисел 2k,
k ∈ N множеством А.

действительно ,
сопоставим каждому натуральному
числу k ∈ N число 12k, k ∈ N

значит наше множество А эквивалентно множеству натуральных чисел,
то есть мы установили биекцию
f:N->A
а, следовательно, множество А счётно.

Answer 2

Для доказательства, что множество чисел вида 12k, где k ∈ N (множество всех положительных чисел, кратных 12), является счетным, мы можем построить биекцию между этим множеством и множеством натуральных чисел N.

Рассмотрим функцию f(k) = 12k, где k ∈ N. Эта функция отображает каждое натуральное число k на число вида 12k. Докажем, что эта функция является биекцией.

1. Инъективность (онтональность): Предположим, что у нас есть два разных натуральных числа k1 и k2, такие что f(k1) = f(k2), то есть 12k1 = 12k2. Разделим обе части на 12 (поскольку 12 ≠ 0) и получим k1 = k2. Это означает, что каждому числу вида 12k соответствует уникальное натуральное число k, что доказывает инъективность функции.

2. Сюръективность (наложение): Для любого числа вида 12k, где k ∈ N, мы можем найти натуральное число k, которое будет его прообразом при функции f. Таким образом, каждому числу вида 12k соответствует натуральное число k, что доказывает сюръективность функции.

Таким образом, функция f устанавливает биекцию между множеством чисел вида 12k, где k ∈ N, и множеством натуральных чисел N. Поскольку множество натуральных чисел счетно, следовательно, множество чисел вида 12k, где k ∈ N, также является счетным.