Question

Найдите решение уравнения у"+4у=0

Answer 1

Ответ:

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Для его решения необходимо сначала составить и решить характеристическое уравнение:

λ^2 + 4 = 0

λ^2 = -4

λ = +- (2*i)

Поскольку корни характеристического уравнения комплексные, то общее решение дифференциального уравнения записывается в виде:

y = A * cos(2x) + B * sin(2x),

A,B — произвольные константы

Answer 2

Данное уравнение является линейным однородным уравнением со constантными коэффициентами. Для его решения можно предположить решение в виде y = e^(rx), где r - неизвестная константа.

Подставим предполагаемое решение в уравнение: y" + 4y = 0 (r^2)e^(rx) + 4e^(rx) = 0

Теперь факторизуем общий множитель e^(rx): e^(rx)((r^2) + 4) = 0

Поскольку e^(rx) никогда не равно нулю, то у нас остается следующее уравнение: (r^2) + 4 = 0

Решим это квадратное уравнение: r^2 = -4 r = ±√(-4) r = ±2i

Таким образом, общее решение уравнения у"+4у=0 имеет вид: y = C1e^(2ix) + C2e^(-2ix),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.