Question

Если y(x) решение дифференциального уравнения y'= (y-1)/x удовлетворяющее условию y(2)=3,тогда у(1) равно... Чему равно?

Answer 1

Сначала получаем общее решение дифференциального уравнения:

$\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x} \\ \frac{dy}{y - 1} = \frac{dx}{x}$

Берём неопределённые интегралы от обеих частей:

∫dy/(y–1) = ∫dx/x

$ln(y - 1) = ln(x) + c = ln(x) + ln(c) = ln(xc) \\ {e}^{ln(y - 1)} = {e}^{ln(xc)} \\ y - 1 = xc \\ y = xc + 1$

Подставляем условие у(2)=3, чтобы найти константу с:

$y = 2c + 1 = 3 \\ 2c = 2 \\ c = 1$

Зная, чему равна с, найдём искомое у(1):

$y = x + 1 \\ y(1) = 1 + 1 = 2$

Ответ: 2.

Answer 2

Для решения этой задачи нужно использовать метод разделения переменных. Начнем с исходного дифференциального уравнения:

y' = (y - 1) / x

Для разделения переменных переместим x в одну сторону и y в другую сторону:

(y - 1) dy = x dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(y - 1) dy = ∫x dx

(y^2 / 2 - y) = (x^2 / 2) + C

где C - постоянная интегрирования.

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, мы можем использовать начальное условие y(2) = 3. Подставим эти значения в уравнение:

(3^2 / 2 - 3) = (2^2 / 2) + C

(9/2 - 3) = (4/2) + C

(9/2 - 6/2) = 2 + C

3/2 = 2 + C

C = 3/2 - 2

C = -1/2

Теперь у нас есть значение постоянной C. Мы можем использовать его, чтобы найти значение у(1). Подставим x = 1 и C = -1/2 в уравнение:

(y^2 / 2 - y) = (1^2 / 2) - 1/2

(y^2 / 2 - y) = 1/2 - 1/2

(y^2 / 2 - y) = 0

y^2 - 2y = 0

y(y - 2) = 0

y = 0 или y = 2

Таким образом, у(1) может быть равно 0 или 2, и ответ зависит от дополнительной информации или условий, которые не указаны в задаче.