Question

Найти производную: y=x^2/arctgx

Answer 1

Ответ:

$y=\dfrac{x^2}{arctgx}\\\\\\y'=\dfrac{2x\cdot arctgx-x^2\cdot \dfrac{1}{1+x^2}}{arctg^2x}=\dfrac{2x\cdot (1+x^2)\cdot arctgx-x^2}{(1+x^2)\cdot arctg^2x}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции y = x^2 / arctan(x), воспользуемся правилом дифференцирования частного функций.

Для начала, заметим, что функция y(x) представляет собой частное двух функций: f(x) = x^2 и g(x) = arctan(x).

Производная функции f(x) = x^2 может быть найдена, применяя правило степенной функции, которое гласит, что производная функции x^n равна n * x^(n-1). Применяя это правило, получаем:

f'(x) = d/dx (x^2) = 2x.

Производная функции g(x) = arctan(x) может быть найдена, применяя правило дифференцирования арктангенса, которое гласит, что производная функции arctan(x) равна 1 / (1 + x^2). Применяя это правило, получаем:

g'(x) = d/dx (arctan(x)) = 1 / (1 + x^2).

Теперь мы можем применить правило дифференцирования частного:

y'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2.

Подставим значения производных, которые мы получили:

y'(x) = (2x * arctan(x) - x^2 * (1 / (1 + x^2))) / (arctan(x))^2.

Это является производной функции y(x) = x^2 / arctan(x).