Question

Три попарно различных числа a, b, c подобраны так, что прямые y=ax+a³, y=bx+b³, y=cx+c³ имеют общую точку. Чему равно a+b+c?

Answer 1

Ответ: указанная сумма равна нулю. Пошаговое объяснение: на фото

Answer 2

Чтобы найти значение a+b+c, мы должны найти общую точку для данных прямых. Для этого приравняем уравнения прямых попарно и решим полученные системы уравнений.

1. y = ax + a³
2. y = bx + b³
3. y = cx + c³

1 и 2: ax + a³ = bx + b³

Поскольку a ≠ b (дано, что числа a, b, c попарно различны), мы можем выразить x через a и b: ax - bx = b³ - a³ x(a - b) = (b - a)(b² + ab + a²) x = (b² + ab + a²) / (a - b)

Теперь подставим найденное значение x в уравнение 1 или 2: y = ax + a³ = a[(b² + ab + a²) / (a - b)] + a³

Теперь заменим y в уравнении 3: a[(b² + ab + a²) / (a - b)] + a³ = cx + c³

Умножим обе части на (a - b) и упростим выражение: a(b² + ab + a²) + a³(a - b) = c(a - b)(x + c²)

Раскроем скобки: ab² + a²b + a³ - ab³ - a⁴ = acx + ac³ - bcx - bc³

Выразим x через остальные переменные: ab² + a²b + a³ - ab³ - a⁴ - ac³ + bc³ = acx - bcx x(ac - bc) = ab² + a²b + a³ - ab³ - a⁴ - ac³ + bc³ x = (ab² + a²b + a³ - ab³ - a⁴ - ac³ + bc³) / (ac - bc)

Теперь заменим найденное значение x в любом из уравнений: y = ax + a³ = a[(ab² + a²b + a³ - ab³ - a⁴ - ac³ + bc³) / (ac - bc)] + a³

Поскольку все прямые имеют общую точку, то значения x и y должны быть одинаковыми для всех трех уравнений. Это дает нам систему уравнений, которую можно решить относительно a, b и c.

Система уравнений: a[(b² + ab + a²) / (a - b)] + a³ = a[(ab² + a²b + a³ - ab³ - a⁴ - ac³ + bc³) / (ac - bc)] + a³

Теперь можно сократить на a и выразить a+b+c через известные значения: (b² + ab + a²) / (a - b) = (ab² + a²b + a³ - ab³ - a⁴ - ac³ + bc³) / (ac - bc)

(b² + ab + a²)(ac - bc) = (ab