Question

Исследовать функцию у=(х-1) (в 3 степени) и построить график этой функции

Answer 1

Область определения функции. ОДЗ: R
Точка пересечения графика функции с осью координат Y: График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в (x-1)^3.
Результат: y=-1. Точка: (0, -1)
Точки пересечения графика функции с осью координат X: График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение: (x-1)^3 = 0 Решаем это уравнение  и его корни будут точками пересечения с X:
x=1. Точка: (1, 0) Экстремумы функции: Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: y'=3*(x - 1)^2=0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами: x=1. Точка: (1, 0) Интервалы возрастания и убывания функции: Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нету Максимумов у функции нету Возрастает на всей числовой оси Точки перегибов графика функции: Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции: y''=6*x - 6=0
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы: x=1. Точка: (1, 0) Интервалы выпуклости, вогнутости: Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов: Вогнутая на промежутках: [1, oo) Выпуклая на промежутках: (-oo, 1] Вертикальные асимптоты Нету
Горизонтальные асимптоты графика функции: Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим : lim (x-1)^3, x->+oo = oo, значит горизонтальной асимптоты справа не существуетlim (x-1)^3, x->-oo = -oo, значит горизонтальной асимптоты слева не существует Наклонные асимптоты графика функции: Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы lim (x-1)^3/x, x->+oo = oo, значит наклонной асимптоты справа не существуетlim (x-1)^3/x, x->-oo = oo, значит наклонной асимптоты слева не существует Четность и нечетность функции: Проверим функци четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем: (x-1)^3 = (-x - 1)^3 - Нет(x-1)^3 = -((-x - 1)^3) - Нет значит, функция не является ни четной ни нечетной.
Для построения графика надо задавать последовательно значения х =-5, -4,
-3....0, 1, 2 ит.д. и находить значения у = (x-1)^3

Answer 2

Для исследования функции у=(х-1)^3 и построения её графика, мы можем проанализировать следующие аспекты: область определения, поведение на бесконечности, производные, экстремумы, точки перегиба и асимптоты. Давайте рассмотрим каждый из них по очереди.

1. Область определения: Функция у=(х-1)^3 определена для всех значений х из множества действительных чисел.

2. Поведение на бесконечности: При x -> +бесконечность, функция у -> +бесконечность. При x -> -бесконечность, функция у -> -бесконечность.

3. Производные: Для определения производных функции у=(х-1)^3, возьмем её производную по х. y' = 3(x-1)^2 y'' = 6(x-1) y''' = 6

4. Экстремумы: Для нахождения экстремумов функции, приравняем первую производную к нулю и решим уравнение: 3(x-1)^2 = 0 Получим единственный корень x = 1. Это значит, что функция имеет локальный минимум в точке (1, 0).

5. Точки перегиба: Чтобы найти точки перегиба, приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение: 6(x-1) = 0 Решением является x = 1. Это означает, что функция имеет точку перегиба в точке (1, 0).

6. Асимптоты: Функция у=(х-1)^3 не имеет вертикальных асимптот, так как не существует значений х, при которых знаменатель обращается в ноль. Горизонтальная асимптота отсутствует, так как функция не стремится к конкретному значению на бесконечности.

Теперь построим график функции у=(х-1)^3, используя полученную информацию:

plaintextCopy code
       |
       |
       |
       |
       |
       |
_______|_______

На графике выше изображена ось x (горизонтальная ось) и ось y (вертикальная ось). Функция проходит через точку (1, 0), которая является точкой экстремума и перегиба. Функция имеет форму возвышающегося кубического графика.

Обратите внимание, что гра