Question

Девять детей встают в хоровод в случайном порядке.Среди них Дима и его сестра Катя.Какова вероятность того,что Дима и Катя не окажутся рядом.?

Answer 1

Пусть Дима встал на какое-то место в хороводе.
У его сестры Кати - шесть мест из оставшихся восьми чтобы не оказаться рядом.
Р=6/8=0.75

Answer 2

Всего возможно разместить девять детей в хороводе $8!$ способами (одно расположение считается дважды, если его повернуть). Если мы фиксируем место Димы, то есть 8 возможных мест для него.

Если Дима и Катя стоят рядом в хороводе, то они могут стоять в двух возможных порядках (Дима слева от Кати или справа от нее). Кроме того, остальные 7 детей могут быть размещены в хороводе $7!$ способами. Таким образом, общее количество способов, когда Дима и Катя стоят рядом, равно $2\cdot 7!$.
Значит, количество способов, когда Дима и Катя не стоят рядом, равно $8!-2\cdot 7!=40 320 - 10 080=30 240$.

Таким образом, вероятность того, что Дима и Катя не окажутся рядом, равна $\frac{30 240}{40 320}=\frac{5}{7}$ (около 71,4%). Ответ: $\boxed{\frac{5}{7}}$.