Question

Помогите, пожалуйста sin3x+sin7x=2sin5x

Answer 1

Решить уравнение sin3x+sin7x=2sin5x.

Ответ:

x₁= (πn)/5, n ∈ Z and x₂= πn, n ∈ Z.

Формула:

Пошаговое объяснение:

Мы имеем два уравнения. Оба - частные случаи.

Если sin a = 0, то a = πn, n ∈ Z; если cos a = 1, то a = 2πn, n ∈ Z.

Косинус - чётная функция, cos(-x)=cos x, поэтому мы можем убрать минус возле двойки в косинусе. Соответственно:

Answer 2

Преобразуем выражение:

sin3x + sin7x = 2sin5x

Применим формулу суммы для синусов:
sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB

sin3x + sin7x = 2sin5x

(sin3x + sin5x) + (sin5x + sin7x) = 2sin5x

sin4x cosx + cos4x sinx + 2sin5x cos(-5x) = 2sin5x

sin4x cosx + cos4x sinx - 2sin5x = 0

Применим формулу разности для косинусов:
cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB

sin4x cosx + cos4x sinx - 2sin5x = 0

2sin4x cosx + 2cos4x sinx - 4sin2.5x cos2.5x = 0

2sin4x cosx + 2cos4x sinx - 2sin5x cos5x - 2sin3x cos3x = 0

Применим формулы для произведения синусов и косинусов:
sinAcosB = (sin(A + B) + sin(A - B))/2
cosAsinB = (sin(A + B) - sin(A - B))/2
cosAcosB = (cos(A + B) + cos(A - B))/2
sinAsinB = (cos(A + B) - cos(A - B))/2

2sin4x cosx + 2cos4x sinx - sin8x + sin2x - sin6x + sin2x = 0

Преобразуем выражение:

2sin4x cosx + 2cos4x sinx - sin8x + 2sin2x - sin6x = 0

2sin4x cosx + 2cos4x sinx - 2sin4x cos4x + 2sin2x - 2sin5x cos5x = 0

sin2x + 2sin4x(cosx - cos4x) - 2sin5x cos5x = 0

Применим формулу для косинуса разности:

cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB

sin2x + 2sin4x(2sinx sin3x) - 2sin5x cos5x = 0

sin2x + 4sin2x sin3x - 2sin5x cos5x = 0

sin2x(1 + 2cos3x) - 2sin5x cos5x = 0

sin2x - 2sin5x cos5x = 0 или 1 + 2cos3x = 0

sin2x = 2sin5x cos5x или cos3x = -1/2

Применим формулу для произведения синусов:

sin2x = 2sin5x cos5x

sin2x = sin10x

2x = 10x + 2πk или 2x = π - 10x + 2πk, где k - целое число

x = π/16 + πk или x = (π - π/16)/11 + πk

cos3x = -1/2

3x = 2π/3 + 2πk или 3x = 4π/3 + 2πk, где k - целое число

x = 2π/9 + 2πk/3 или x = 4π/9 + 2πk/3, где k - целое число

Ответ: x = π/16 + πk, x = (π - π/16)/11 + πk, x = 2π/9 + 2πk/3 или x = 4π/9 + 2πk/3, где k - целое число.