Question

В пяти ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество чётно, больше 100 и меньше 130?

Answer 1

Ответ:

62

Пошаговое объяснение:

пусть 2 (шт) красных шаров всего

1) 2*5=10 (шт) белых шаров всего

2) 10*5=50 (шт) всего синих

3) 2+10+50=62 (шт) шаров всего

Answer 2

Обозначим через $r_i$, $b_i$, $s_i$ число шаров каждого цвета в $i$-м ящике. Тогда условие задачи дает нам два уравнения на каждое из значений $r_i$, $b_i$, $s_i$:
\begin{align*}
b_i &= r_1 + \dots + r_{i-1} + r_{i+1} + \dots + r_5 \\
s_i &= b_1 + \dots + b_{i-1} + b_{i+1} + \dots + b_5
\end{align*}
Заметим, что мы можем сложить эти уравнения по всем ящикам:
\begin{align*}
\sum_i b_i &= \sum_{i,j} r_j \\
\sum_i s_i &= \sum_{i,j} b_j
\end{align*}
Так как общее количество шаров четно, то $\sum_i (r_i + b_i + s_i)$ четно, а значит $\sum_i r_i$ также четно. Но тогда $\sum_i b_i$ и $\sum_i s_i$ также четны. Поэтому сумма $\sum_{i,j} r_j$ четна, а значит четно и количество всех шаров. Посмотрим, какие значения сумм $\sum_i r_i$, $\sum_i b_i$, $\sum_i s_i$ могут иметь.

Так как в каждом ящике не менее трех шаров, то $\sum_i r_i$, $\sum_i b_i$, $\sum_i s_i$ не менее $3\cdot 5=15$. С другой стороны, если все значения $r_i$, $b_i$, $s_i$ равны, то
\[\sum_{i,j} r_j = 5 \cdot 2 r_1 = 10r_1\]
и общее количество шаров равно $3\cdot 5 r_1$, что нечетно, а значит не подходит. Давайте переберем возможные значения каждой из сумм.

$\bullet$ Если, например, $\sum_i r_i = 16$, то $\sum_{i,j} r_j$ четно только если одна из сумм $\sum_i b_i$, $\sum_i s_i$ равна 0, другая --- равна 16. При этом во всех пяти ящиках должно быть поровну шаров. Но это распределение не подойдет, так как оно не удовлетворяет условиям задачи.

$\bullet$ Если $\sum_i r_i = 18$, то две из трех сумм $\sum_i r_i$, $\sum_i b_i$, $\sum_i s_i$ равны 6, а одна --- равна 12. По условию задачи, это могут быть только суммы $\sum_i b_i$, $\sum_i s_i$ (иначе мы получим все равные суммы). В этом случае общее количество шаров равно $3\times 6 \times 2 = 36$, что подходит.

$\bullet$ Если $\sum_i r_i = 20$, то две из трех сумм $\sum_i r_i$, $\sum_i b_i$, $\sum_i s_i$ равны 8, а одна --- равна 4. По условию задачи, это могут быть только суммы $\sum_i b_i$, $\sum_i s_i$. В этом случае общее количество шаров равно $3 \times 8 \times 2 = 48$, что подходит.

Таким образом, возможные ответы: 36 или 48.