Question

Часы со стрелками показывают полдень. Сколько минут пройдёт до ближайшего момента времени, когда прямая, делящая пополам угол между. часовой и минутной стрелкой, пересечёт отметку на циферблате, соответству- ющую 56 минутам?

Answer 1

Ответ:  

48 мин.

Пошаговое объяснение:

Поскольку на циферблате часов 12 часовых делений, то одно часовое деление соответствует: 360/12 = 30°.

Иначе говоря, часовая стрелка движется со скоростью 30° в час или

30/60 = 0.5° в минуту

Минутная стрелка же движется со скоростью: 360/60 = 6° в минуту.

В полдень между часовой и минутной стрелкой 0° и обе стрелки находятся на числе 12.

Спустя время t минут часовая стрела образует с делением под числом 12 угол:

0.5°*t

Минутная стрелка угол:

6°*t

Тогда линия делящая пополам угол между стрелками образует с делением под цифрой 12 угол:

(6°*t + 0.5°*t)/2 = 3.25°*t

Заметим, что напротив отметки в 56 минут (на другом конце диаметра циферблата часов) находится отметка в  56 - 60/2 = 56 - 30 = 26 минут. То есть, если линяя делящая пополам угол между часовой и минутной стрелкой пересекает отметку в 56 минут, то она также пересекает и отметку в 26 минут.

Тогда, поскольку 26<56, а нам нужен самый ближайший такой момент времени, то получаем:

3.25°*t = 26*6° = 156°

t = 156°/3.25° = 48 мин

Answer 2

Заметим, что в полдень минутная стрелка указывает на $12$, а часовая стрелка на $6$. Отметка на циферблате, соответствующая $56$ минутам, находится между числами $10$ и $11$.

Для решения задачи нам нужно найти угол между часовой и минутной стрелками в полдень, а затем определить, сколько времени пройдет до ближайшего момента, когда делитель указанного угла пересечет отметку на циферблате, соответствующую $56$ минутам.

Угол между часовой и минутной стрелками в полдень равен $180^\circ$, так как часовая и минутная стрелки находятся напротив друг друга. Половина этого угла равна $90^\circ$.

Делитель угла между часовой и минутной стрелками пересекает циферблат дважды за полный оборот часовой стрелки: первый раз в тот момент, когда минутная стрелка находится на $12$ и второй раз в тот момент, когда минутная стрелка совпадает с часовой стрелкой. Мы ищем ближайший момент времени, когда этот делитель пересечет отметку на циферблате, соответствующую $56$ минутам. Заметим, что этот момент наступит в первый раз, когда делитель пересечет отметку между $10$ и $11$, так как затем минутная стрелка продолжит свой обход и пересечет положение часовой стрелки, что значит, что делитель уже пересекся с отметкой $56$ минут.

Так как делитель пересекает угол между часовой и минутной стрелками пополам, то мы можем рассматривать только правую половину этого угла, то есть угол между часовой и минутной стрелками от $12$ до $6$. Этот угол равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник с вершинами в точках $12$, $6$ и точке на циферблате, соответствующей отметке между $10$ и $11$. Мы ищем расстояние от этой точки до делителя угла между часовой и минутной стрелками. Для этого нам нужно найти высоту этого треугольника, опущенную на сторону, соединяющую точки $12$ и $6$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $12$-$6$-$N$, где $N$ — точка на циферблате, соответствующая отметке между $10$ и $11$. Катет этого треугольника, соединяющий точки $6$ и $N$, равен $5$ (пяти минутам). Катет, соединяющий точки $12$ и $6$, равен $6$ (шести часам). Значит, высота, опущенная из точки $N$ на сторону $12$-$6$, равна:

$$h = \frac{6 \cdot 5}{\sqrt{6^2 + 5^2}} = \frac{30}{\sqrt{61}} \approx 3.81.$$

Таким образом, делитель угла между часовой и минутной стрелками пересекает отметку на циферблате, соответствующую $56$ минутам, через примерно $3.81$ минуты (или $3$ минуты $49$ секунд).