Question

Укажите наименьшее натуральное число, у которого ровно 30 различных целых нечётных делителей.

Answer 1

Простые множители, на которые раскладывается натуральное число, могут повторяться. В таких случаях, для удобства, часто записывают разложение с помощью степеней.

Показатель степени показывает, сколько раз множитель встречается в разложении.

Так вот, любое натуральное число n имеет каноническое разложение на простые множители:  

Смысл здесь в том, что простой множитель p₁ встречается a₁ раз, простой множитель p₂ встречается a₂ раз и т.д.

При этом существует формула нахождения количества делителей натурального числа:

У натурального числа, которое мы ищем, 30 делителей.

Это значит,

.

Определив, при умножении каких чисел можно получить 30, мы получим разные варианты содержимого скобок, а отсюда и разные варианты показателей степеней в разложении.  

     1. Рассмотрим первый вариант:

 

Значит, имеем:

При а₁ + 1 = 6,    а₁ = 5

При а₂ + 1 = 5,    а₂ = 4

Эти показатели могут быть расставлены в любом порядке:

,

.

Но нам нужно получить наименьшее натуральное число, а значит, мы стремимся к тому, чтобы у меньших множителей был больший показатель степени. Так что показатели должны идти по убыванию.

     2 вариант:

 

а₁ = 9,

а₂ = 2.

В таком случае разложение выглядит так:

     3 вариант:

 

а₁ = 14,

а₂ = 1.

     4 вариант:

 

а₁ = 29,

а₂ = 0.

     5 вариант:

 

а₁ = 4,

а₂ = 2,    

а₃ = 1

Нам нужно найти наименьшее n, простые множители которого нечетны.  

Поэтому в каждом варианте вместо p нужно проставить по возрастанию простые нечетные числа, начиная с самого маленького.

Наименьшее простое нечетное число — это 3, поэтому имеем:

1)

2)

3)

4)

5)        

Наименьшим будет пятое число.

— наименьшее натуральное число, у которого 30 нечетных делителей.

Ответ: 14175

Answer 2

Если число имеет 30 нечётных делителей, то оно имеет вид $p_1^{k_1-1}p_2^{k_2-1}\dots p_n^{k_n-1}$, где $p_1,p_2,\dots,p_n$ — различные простые числа, а $k_1,k_2,\dots,k_n$ — некоторые натуральные числа.

Количество нечётных делителей такого числа равно $(k_1+k_2+\dots+k_n)$, а мы хотим найти такие $p_1,p_2,\dots,p_n$ и $k_1,k_2,\dots,k_n$, чтобы это число было минимальным и равнялось 30.

Поскольку 30 равно $2\cdot 3 \cdot 5$, мы можем представить его как сумму трех натуральных чисел, произведение которых равно 30. Например, мы можем выбрать такие $k_1,k_2,k_3$, чтобы $k_1+k_2+k_3=2+3+5=10$. Таким образом, мы можем выбрать $k_1=2$, $k_2=3$ и $k_3=5$.

Теперь мы должны выбрать простые числа. Наименьшее нечётное простое число — это 3, поэтому мы можем взять $p_1=3$ и $p_2=5$, а затем найти такое простое число, которое больше, чем $p_2$, и такое, что произведение $p_1p_2p_3$ будет делиться на $2^2$. Это простое число равно 7 (так как $3\cdot 5\cdot 7 = 105$), и мы можем взять $p_3=7$.

Таким образом, наименьшее натуральное число, у которого ровно 30 различных целых нечётных делителей, равно $3^1\cdot 5^1\cdot 7^3=30,\!{,}450$.