Question

точки A1,A2,A3,A4 являются вершинами пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани А1 А2 А3 и высоту пирамиды, опущенную на данную грань.Сделать чертеж А1(-2,-1,-1), А2(0,3,2), А3(3,1,-4), А4(-4,7,3)

Answer 1

Точки A1,A2,A3,A4 являются вершинами пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани А1 А2 А3 и высоту пирамиды, опущенную на данную грань.  

А1(-2,-1,-1), А2(0,3,2), А3(3,1,-4), А4(-4,7,3).

1) Сначала находим площадь грани А1А2А3 как половину модуля векторного произведения векторов А1А2 и А1А3.

Находим векторы:

А1А2 = (0-(-2); 3-(-1); 2-(-1)) = (2; 4; 3).

А1А3 = (3-(-2); 1-(-1); -4-(-1)) = (5; 2; -3).

A1A2*A1A3=  I          j          k|         I           j

         A1A2= 2         4          3|        2          4

         A1A3=  5        2         -3|        5          2 = -12i + 15j + 4k – (-6)j – 6i – 20k =

-18i + 21j – 16k.

Нормальный вектор плоскости А1А2А3 равен (-18; 21; -16).

S(A1A2A3)= 0,5(√(324+441+256) = √1021/2 ≈ 15,9765.

2) Находим вектор А1А4.

А1А4 = (-4-(-2); 7-(-1); 3-(-1)) = (-2; 8; 4).

Объём пирамиды равен 1/6 смешанного произведения векторов (А1А2хА1А3)*А1А4.

(А1А2хА1А3) = -18; 21; -16

            А1А4 =   -2;   8;    4    

                          36 + 168 - 64 =   140.

V = (1/6)*140 = 70/3 ≈ 23,3333.

3) Высоту пирамиды  находим по формуле:

H = 3V/So = (3*(70/3))/( √1021/2 ) =  140/√1021 = 140*√1021/1021 ≈ 4,38142.

       

Answer 2

Для решения задачи нужно найти векторы, соединяющие вершину пирамиды A4 с основанием A1A2A3 и вычислить их произведение скалярное и векторное, затем по формулам найти объем, площадь грани и высоту пирамиды.

1. Найдем вектора основания пирамиды:

→A1A2 = (0-(-2), 3-(-1), 2-(-1)) = (2, 4, 3)
→A1A3 = (3-(-2), 1-(-1), (-4)-(-1)) = (5, 2, -3)
→A2A3 = (3-0, 1-3, (-4)-2) = (3, -2, -6)

2. Найдем векторы, соединяющие вершину A4 с каждой из вершин основания:

→A4A1 = (-2-(-4), -1-7, -1-3) = (2, -8, -4)
→A4A2 = (0-(-4), 3-7, 2-3) = (4, -4, -1)
→A4A3 = (3-(-4), 1-7, (-4)-3) = (7, -6, -7)

3. Вычислим произведение скалярное векторов →A1A2 и →A1A3:

→A1A2 * →A1A3 = 2*5 + 4*2 + 3*(-3) = 4 + 8 - 9 = 3

4. Найдем объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h, где S - площадь грани, h - высота пирамиды, опущенная на данную грань.

Выразим h через S: h = (3/S) * (→A1A2 * →A1A3)

h = (3/√29) * 3 = 9/√29

Выразим S через векторное произведение векторов →A4A1 и →A4A2 (или →A4A3, результат будет одинаковым):

S = (1/2) * |(→A4A1 x →A4A2)|

→A4A1 x →A4A2 = (-4, -6, -8)

S = (1/2) * √((-4)^2 + (-6)^2 + (-8)^2) = 5√3

Тогда V = (1/3) * 5√3 * 9/√29 = 15/√29

Ответ: объем пирамиды V = 15/√29, площадь грани А1А2А3 S = 5√3, высота пирамиды, опущенная на грань А1А2А3 h = 9/√29

5. Нарисуем чертеж: