Question

Определить особую точку и её тип f(z)=(z-1)*(e^((1)/(z-1)))

Answer 1

Особая точка: 1
Так как при единице функция не определена (на 0 делить нельзя)

Теперь определим ее тип:

1) способ

Рассмотрим лево- и право сторонний пределы:

$a) \: lim _{z - > 1 + 0 } (z - 1) {e}^{ \frac{1}{z - 1} } = lim _{z - > 1 + 0 } \frac{ {e}^{ \frac{1}{z - 1} } }{ \frac{1}{z - 1} } = \frac{e ^{ \frac{1}{ + 0} } }{ \frac{1}{ + 0} } = ( \frac{ \infty }{ \infty } )$
Можно воспользоваться правилом Лопиталя:

$lim _{z - > 1 + 0 } \frac{ - {e}^{ \frac{1}{z - 1} } \times \frac{1}{(z - 1) ^{2} } }{ - \frac{1}{(z - 1)^{2} } } = lim _{z - > 1 + 0}{e}^{ \frac{1}{z - 1} }= e ^{ \infty } = \infty$
$b) \: lim _{z - > 1 - 0 }(z - 1) {e}^{ \frac{1}{z - 1} } = 0 \times e^{ \frac{1}{ - 0} } = 0 \times {e}^{ - \infty } = 0 \times 0 = 0$
Лево- и правосторонний пределы не совпадают, следовательно предела в точке z=1 - не существует, значит
z=1 - существенно особая точка

2 способ)
Разложение в ряд Лорана:

Воспользуемся готовым разложением:

${e}^{x} = 1 + x + \frac{ {x}^{2} }{2} + \frac{ {x}^{3} }{6} + ...$
И применим к данной функции:

$(z - 1) {e}^{ \frac{1}{z - 1} } = (z - 1) \times (1 + \frac{1}{z - 1} + \frac{({ \frac{1}{z - 1})} ^{2} }{2} + \frac{(\frac{1}{z - 1}) ^{3} }{6} + ...) = \\ \\ = (z - 1)(1 + \frac{1}{z - 1} + \frac{1}{2(z - 1 {)}^{2} } + \frac{1}{6(z - 1) ^{3}} + ... ) = \\ \\ =( z - 1) + 1 + \frac{1}{2(z - 1)} + \frac{1}{6(z - 1) ^{2} } + ...$
главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности точки z=1 содержит бесконечно много отличных от нуля членов, следовательно данная точка является существенно особой.

ОТВЕТ: z=1 - существенно особая точка

Answer 2

Для того чтобы определить особую точку и ее тип, нужно проанализировать функцию f(z) в окрестности точки z = 1.

Начнем с того, что f(z) определена на всей комплексной плоскости за исключением точки z=1, так как знаменатель в экспоненте обращается в ноль при z=1.

Разложим функцию f(z) в ряд Тейлора в окрестности точки z=1:

f(z) = (z-1)(e^(1/(z-1))) = (z-1) * [1 + 1/(z-1) + (1/2!)(1/(z-1))^2 + ...]

= (z-1) + 1 + (z-1)/2! + (z-1)^2/3! + ...

= 1 + (z-1) * [1 + (z-1)/2! + (z-1)^2/3! + ...]

Можно заметить, что первый член ряда Тейлора f(z) в окрестности z=1 равен 1, а остальные члены содержат множитель (z-1), что означает, что функция имеет полюс первого порядка в точке z=1.

Таким образом, особой точкой функции является z=1, а ее тип – полюс первого порядка.