Question

Найти экстремум функции: 6x²-7xy+2y²+6x-3y

Answer 1

Насколько я понял x и y независмые переменные (т.е. y - не функция от x), тогда:

найдем $d, d^2$

$></p> <p>в точке экстремума дифференциал должен быть равен 0</p> <p>Находим точки подозрительные на экстремум:</p> <p><img src=$

Получаем решения $x=3,y=6$

Теперь смотрим на матрицу второго дифференциала

$\left(\begin{array}{ccc}12&-7\\-7&4\end{array}\right)$

Она отрицательно опрделенная, т.к. $12 > 0, \left|\begin{array}{ccc}12&-7\\-7&4\end{array}\right| = 48 - 49 = -1 < 0$

Значит x=3, y=6 - точка экстремума, а точнее точка максимума

Answer 2

Для того, чтобы найти экстремум функции, необходимо вычислить ее частные производные по x и y, приравнять их к нулю и решить полученную систему уравнений. Также необходимо определить, является ли найденная точка экстремумом максимума или минимума, используя метод вторых производных.

Частная производная по x:

12x - 7y + 6

Частная производная по y:

-7x + 4y - 3

Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

12x - 7y + 6 = 0 -7x + 4y - 3 = 0

Можно выразить x через y из второго уравнения:

x = (4y - 3) / 7

Подставим это выражение в первое уравнение:

12 * ((4y - 3) / 7) - 7y + 6 = 0

Упростим:

48y - 36 - 49y + 42 = 0

-y + 6 = 0

y = 6

Теперь найдем x, используя выражение, которое мы получили выше:

x = (4y - 3) / 7 = (4 * 6 - 3) / 7 = 21 / 7 = 3

Таким образом, найденная точка экстремума функции равна (3, 6).

Для того, чтобы определить, является ли эта точка максимумом или минимумом, вычислим матрицу вторых производных:

| d²f/dx² d²f/dxdy | | d²f/dydx d²f/dy² |

d²f/dx² = 12, d²f/dy² = 4, d²f/dxdy = -7

Определитель матрицы: (12 * 4) - (-7)² = 104

Так как определитель положительный, а d²f/dx² = 12, то мы можем сделать вывод, что точка (3, 6) является точкой минимума функции.

Ответ: точка (3, 6) является точкой минимума функции 6x²-7xy+2y²+6x-3y.