Question

Помогите пожалуйста с подробным обьяснением решить задачу. Сережа задумал два натуральных числа.Он забыл задуманные числа,но точно помнит,что их сумма равна 22,а про разность абсолютно уверен,что она меньше 14,но больше 10.Какие два числа задумал Сережа? Найдите все варианты и докажите,что других нет.​

Answer 1

Ответ: 5 и 17.

Решение:

Обозначим искомые числа за x и y. Тогда: x + y = 22.

Если сумма двух чисел - это четное число, то оба числа были одной и той же четности (то есть либо оба нечетные, либо оба четные).

Но и разность чисел одной четности - это тоже четное число. Поэтому x - y - это обязательно четное число. Но среди чисел меньше 14 и больше 10 только одно четное число, это 12 (считаем, что разность не может быть равна 10 и 14).

Тогда мы можем составить и решить эту систему уравнений:

$\left \{ {{x + y=22} \atop {x - y=12}} \right.$

Сложим эти уравнения:

$(x + y) + (x - y) = 2x = 22 + 12 = 34, x = \frac{34}{2} = 17.\\y = 22 - 17 = 5.$

Получается, Сережа загдал числа 5 и 17.

Примечание.

Если же все-таки сумма может быть равна 10 и 14, то роме этой пары еще подойдут пары (19, 5) и (17 и 7).

Answer 2

Ответ:

Единственно возможный вариант - 17, 5.

Пошаговое объяснение:

Решение:

Обозначим числа как $x$ и $y$.

Если сумма двух чисел - чётное число, то чётность искомых чисел одинакова, то есть или оба числа чётные или оба нечётные.

Но если числа одинаковой чётности, то разность будет тоже чётной. Между 10 и 14 только 1 чётное число - это 12, так как мы не считаем 10 и 14.

Теперь составляем систему уравнений:

$\left \{ {{x+y=22} \atop {x-y=12}} \right.$

Сложим уравнения:

$(x+y)+(x-y)=22+12$

Упростим правую часть:

$(x+y)+(x-y)=34$

Упростим левую часть:

$2x+y-y=34$

И ещё раз её упростим:

$2x=34$

Теперь легко найти $x$:

$x=34:2\\x=17$

Находим $y$:

$y=22-17\\y=5$

Вывод: Единственный возможный вариант - 17, 5.

УДАЧИ! ОБРАЩАЙТЕСЬ!

Answer 3

Обозначим задуманные числа как $x$ и $y$. Тогда из условия задачи следует система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 22 \\ |x - y| < 14 \\ \end{cases}$$

Разберем второе уравнение на два случая:

1. $x > y$. Тогда $|x-y| = x-y$, и уравнение принимает вид:

$$x-y < 14$$

2. $x < y$. Тогда $|x-y| = y-x$, и уравнение принимает вид:

$$y-x < 14$$

Объединим эти два неравенства в одно:

$$|x-y| < 14$$

Это неравенство можно переписать в виде:

$$-14 < x-y < 14$$

Добавим это неравенство к первому уравнению системы и получим:

$$\begin{cases} x + y = 22 \\ -14 < x-y < 14 \\ \end{cases}$$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$$y = 22 - x$$

Подставим это выражение во второе уравнение и преобразуем:

$$-14 < x - (22-x) < 14 \\ -14 < 2x - 22 < 14 \\ 8 < 2x < 36 \\ 4 < x < 18 \\$$

Таким образом, $x$ должно быть натуральным числом, принадлежащим отрезку $(4, 18)$. Из этого следует, что возможны следующие варианты:

1. $x = 5$, $y = 17$
2. $x = 6$, $y = 16$
3. $x = 7$, $y = 15$
4. $x = 8$, $y = 14$
5. $x = 9$, $y = 13$
6. $x = 10$, $y = 12$
7. $x = 11$, $y = 11$

Нет других вариантов, так как сумма двух натуральных чисел равна 22, а разность меньше 14 и больше 10.

Действительно, если $x$ и $y$ - натуральные числа, такие что $x + y = 22$ и $|x - y| < 14$, то разность $x-y$ не может быть равна 15, 16, 17 или больше, так как тогда одно из чисел $x$ или $y$ окажется меньше единицы или равно нулю. Аналогично, разность $x-y$ не может быть равна 10, 11 или 12, так как тогда одно из чисел $x$ или $y$ окажется больше 21.