Question

Площади 2 подобных треугольников равны 2√3 и 18 √3. Найдите гипотенузу большего треугольника,если один один из катетов меньшего равен 2  

Answer 1

Площади 2 подобных (ПРЯМОУГОЛЬНЫХ - так как есть гипотенуза) треугольников равны 2√3 и 18 √3. Значит коэффициент подобия этих треугольников равен 1:9.
Площадь меньшего 2√3 а один из катетов =2, значит 1/2*2*к = 2√3.
Отсюда второй катет равен к=2√3. Тогда гипотенуза меньшего треугольника равна
√(4*3+4) = 4. Гипотенуза большего равна 4*9 = 36. (9 - коэффициент подобия)

Answer 2

Пусть меньший треугольник имеет катеты $a$ и $2$, а гипотенузу $c_1$. Больший треугольник будет иметь катеты $ka$ и $2k$ и гипотенузу $kc_1$, где $k$ - коэффициент подобия.

Так как треугольники подобны, мы можем записать отношение длин их сторон:

$\frac{c_1}{a}=\frac{kc_1}{ka}=k$

Мы также знаем, что площадь меньшего треугольника равна:

$\frac{1}{2}a\cdot 2 = \sqrt{3}$

А площадь большего треугольника равна:

$\frac{1}{2}(ka)\cdot (2k)=18\sqrt{3}$

Решим первое уравнение относительно $c_1$:

$c_1= \frac{a}{k}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{1}{2}\left(\frac{a}{k}\right)(2k)=18\sqrt{3}$

Упрощаем:

$ak=36\sqrt{3}$

Теперь мы можем найти $a$:

$a=\frac{36\sqrt{3}}{k}$

Подставим $a$ в уравнение для площади меньшего треугольника:

$\frac{1}{2}\left(\frac{36\sqrt{3}}{k}\right)(2)=\sqrt{3}$

Решаем это уравнение относительно $k$:

$k=2\sqrt{3}$

Теперь мы можем найти гипотенузу большего треугольника:

$kc_1=(2\sqrt{3})\left(\frac{a}{k}\right)=\frac{36\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=18$

Таким образом, гипотенуза большего треугольника равна $18$.