Question

Наибольший общий делитель натуральных чисел A и B равен 6. Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель чисел A+B и A-B .

Answer 1

Если два числа делятся на некоторое число d, то и их сумма и разность тоже делятся на d. Воспользуемся этим: если НОД(A + B, A - B) = d, то (A + B) + (A - B) = 2A и (A + B) - (A - B) = 2B делятся на d. Значит, d – какой-то общий делитель 2A и 2B. Любой общий делитель не превосходит наибольшего общего делителя, откуда d ≤ НОД(2A, 2B) = 2 НОД(A, B) = 12.
d = 12, например, если A = 18 и B = 6, при этом НОД(18 + 6, 18 - 6) = НОД(24, 12) = 12

Ответ. 12

Answer 2

Обозначим наибольший общий делитель чисел A и B как НОД(A, B) = 6. Это означает, что A и B можно записать в виде A = 6a и B = 6b, где a и b являются натуральными числами, не имеющими общих делителей, кроме 1.

Тогда A + B = 6a + 6b = 6(a + b), а A - B = 6a - 6b = 6(a - b). Оба выражения являются кратными 6, поэтому НОД(A + B, A - B) также должен быть кратен 6.

Далее, пусть НОД(A + B, A - B) = d, где d является наибольшим общим делителем чисел A + B и A - B. Тогда d должен делить их разность (A + B) - (A - B) = 2B и их сумму (A + B) + (A - B) = 2A, а также делитель НОД(A, B) = 6.

Таким образом, d должен делить НОД(2A, 2B) = 2НОД(A, B) = 12. При этом d не может быть больше 6, так как в таком случае он не мог бы делить 6.

Следовательно, наибольшее значение НОД(A + B, A - B) равно 6 ⋅ 2 = 12. Это значение достигается, например, при A = 18 и B = 12, так как в этом случае A + B = 30 и A - B = 6, а их наибольший общий делитель равен 12.