Question

Вычислите интеграл dx/(x^2+5)

Answer 1

Табличный интеграл:  $\int \dfrac{1}{x^2+a^2} \, dx= \dfrac{1}{a} \cdot \arctan\left ( \dfrac{x}{a} \right )+C$
В нашем случае:
   $\int \dfrac{dx}{x^2+5} =\int \dfrac{dx}{x^2+ (\sqrt{5} )^2} = \dfrac{1}{ \sqrt{5} } \cdot \arctan\left ( \dfrac{x}{ \sqrt{5} } \right ) +C$

Answer 2

Для вычисления этого интеграла мы можем воспользоваться заменой переменной. Обозначим:

u = x^2 + 5

Тогда:

du/dx = 2x dx = du / (2x)

Исходный интеграл принимает вид:

∫dx/(x^2+5) = ∫(1/u) * (du / (2x)) = (1/2) ∫du/u

Затем мы можем использовать формулу для интеграла логарифма:

∫du/u = ln|u| + C

где C - произвольная постоянная интегрирования. Заменяя обратно u на выражение в x, получаем окончательный ответ:

∫dx/(x^2+5) = (1/2) ln|x^2+5| + C