Question

Найти интеграл ∫dx/ корень 2x^2-x+3

Answer 1

$\int \frac{dx}{2x^2-x+3}=\Big [\; 2x^2-x+3=2(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})=2\cdot ((x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}+\frac{3}{2})=\\\\=2\cdot ((x-\frac{1}{4})^2+\frac{23}{8})\; \Big ]=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{(x-\frac{1}{4})^2+\frac{23}{8}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x-\frac{1}{4})}{(x-\frac{1}{4})^2+\frac{23}{8}}=\\\\=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt2}{\sqrt{23}}\cdot arctg\frac{2\sqrt2\, (x-\frac{1}{4})}{\sqrt{23}}+C=\sqrt{\frac{2}{23}}\cdot arctg\frac{\sqrt2\, (4x-1)}{2\sqrt{23}}+C$

Answer 2

Для решения этого интеграла необходимо провести замену переменной, чтобы выразить выражение под корнем в квадратичном трехчлене в виде полного квадрата.

Для этого можно воспользоваться формулой завершения квадрата, которая утверждает, что любой квадратичный трехчлен вида ax^2 + bx + c может быть записан в виде (sqrt(a) x + sqrt(a)b/(2sqrt(a)))^2 + (c - b^2/(4*a)), где a ≠ 0.

В данном случае, мы можем записать выражение под корнем в квадратичном трехчлене в виде (2x-1)^2 + 2:

∫dx/ корень 2x^2-x+3 = 1/√2 ∫dx/√( (2x-1)^2 + 2)

Для решения этого интеграла, можно воспользоваться тригонометрической заменой x = (1/√2)*tan(t). Тогда dx = (1/2)sec^2(t) dt, и выражение под корнем становится равным 3sec^2(t).

∫dx/ корень 2x^2-x+3 = 1/√2 ∫ (1/2)sec^2(t) dt /√(3sec^2(t))

Выражение под корнем можно упростить, выделив за корнем множитель 3:

∫dx/ корень 2x^2-x+3 = 1/√6 ∫ sec^2(t) dt /√(tan^2(t)+1)

Теперь можно воспользоваться классической тригонометрической подстановкой: tan(t) = u, dt = du/(1+u^2), и выражение под корнем становится равным (1+u^2).

∫dx/ корень 2x^2-x+3 = 1/√6 ∫ du /√(1+u^2)

Это выражение можно решить, взяв интеграл от функции arctan(u):

∫dx/ корень 2x^2-x+3 = 1/√6 arctan(u) + C = 1/√6 arctan(tan(t)) + C = 1/√6 arctan(√2 x - 1) + C

Таким образом, окончательный ответ:

∫dx/ корень 2x^2-x+3 = 1/√6 arctan(√2 x - 1) + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.