Question

Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 5 см і 12 см, а діагональ паралелепіпеда утворює кут 60 ° з площиною основи. Знайдіть висоту паралелепіпеда.

Answer 1

Ответ:

Диагональ параллелепипеда имеет проекцией диагональ прямоугольника. Ее вычисли по теореме Пифагора d=√(5²+12²)=²√169=13 см.  Высота параллелепипеда - противолежащий катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 60°. H =d*tg60°=13√3.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вирішення цієї задачі нам необхідно знайти діагональ паралелепіпеда та висоту, що опущується на цю діагональ з одного з його вершин.

Діагональ паралелепіпеда можна знайти за допомогою теореми Піфагора:

$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$,

де $a$, $b$ та $c$ - довжини сторін паралелепіпеда, а $d$ - діагональ.

Підставляючи дані, отримаємо:

$d=\sqrt{5^2+12^2+c^2}$.

Також нам дано, що діагональ утворює кут 60° з площиною основи, тобто утворює рівнобедрений трикутник зі сторонами $a$ та $b$. За теоремою косинусів можна знайти довжину $c$:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\angle ACB)=5^2+12^2-2\cdot 5\cdot 12\cdot \cos(60°)=49$.

Підставляючи це значення у формулу для діагоналі, отримаємо:

$d=\sqrt{5^2+12^2+49}=\sqrt{290}$.

Тепер, щоб знайти висоту, що опущується на діагональ з вершини паралелепіпеда, можна використовувати теорему Піфагора для правильної трапеції, утвореної вертикальним перерізом паралелепіпеда та висотою:

$h^2=d^2-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\sqrt{290}^2-\left(\frac{5+12}{2}\right)^2=\frac{721}{4}$.

Отже, висота паралелепіпеда дорівнює $\frac{\sqrt{721}}{2}\approx 13.43$ см (заокруглюємо до сотих).