Question

В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН - высота, АВ=29, tgA=5/2. Найдите АН

Answer 1

Из прямоугольного треугольника АВС:
АС=АВ*CosA.
Из прямоугольного треугольника АСН:
АН=АС*CosA = AB*CosA*CosA = AB*(CosA)^2 = AB/(1+(tgA)^2) = 29/(1+(5/2)^2) = 4.

Answer 2

Для решения задачи нам понадобятся теоремы синусов и косинусов.

Из угла А и отрезка СН можно составить прямоугольный треугольник АСН. Тогда tgA = СН/АН, а значит, мы можем найти СН, зная АН:

СН = АН * tgA

Далее, в треугольнике АВС, где угол С = 90°, применяем теорему Пифагора:

АВ^2 = АС^2 + СВ^2

Так как СВ = СН - НВ, где НВ - высота из вершины В, то получаем:

АВ^2 = АС^2 + (СН - НВ)^2

Но так как АВ = 29, а угол А противоположен стороне СН, то sinA = СН/АВ, а значит:

АС = АВ * sinA = 29 * СН / АН

Подставляем полученные выражения для СН и АС в теорему Пифагора:

29^2 = (29 * СН / АН)^2 + (СН - НВ)^2

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:

841 * АН^2 = 841 * СН^2 + АН^2 * НВ^2 - 58 * АН * СН * НВ

Выражаем СН через АН и подставляем найденное выражение:

СН = АН * tgA = 5/2 * АН

Подставляем в уравнение и решаем относительно АН:

841 * АН^2 = 841 * (5/2 * АН)^2 + АН^2 * НВ^2 - 58 * АН * 5/2 * АН * НВ

Решая это уравнение, получаем:

АН = 58/7

Таким образом, высота треугольника АСН равна 5/2 * 58/7 = 145/7.