Question

Дан правильный тетраэдр ABCD. Найдите угол между прямыми DM и CL, где M - середина ребра BC, L - середина ребра AB.

Answer 1

тетраэдр ABCD- правильный, значит все стороны основания равны. Отсюда основание тетраэдра -квадрат.

BC=AB

точка M делит BC пополам. (получается прямоугольный треугольник DCM. По теореме сумма всех углов треугольника равна 180,)

отсюда угол DCm=90, угол DMC=45, угол MCD=45.

точка L делит AB пополам.( то же самое)

LBC=90, BCL=45, CLB=45

отсюда( для наглядности проведи  линии соединяющие середины Со сторонами) точка пересечения прямых О

угол OMC=DMC=45, OCM=BCL=45

угол MOC=180-45-45=90

Ответ: угол между DM и CL равен 90 градусов

Answer 2

Пусть E и F - середины ребер AD и CD соответственно. Тогда точка O - центр тетраэдра ABCD - является точкой пересечения диагоналей граней ACD и BDM.

Рассмотрим треугольники ADO и CDF. Они подобны, так как соответствующие углы при вершине D и C равны, а соотношение сторон AD и CD также равно 1:1 (как середины сторон AB и BC). Следовательно, соотношение длин DM и FL также равно 1:1.

Теперь мы можем найти угол между прямыми DM и CL, используя свойства параллелограмма. Так как LM и CF - медианы треугольника ABC, то точка K - точка их пересечения - является серединой стороны AC, а также точкой пересечения диагоналей параллелограмма LMCF. Таким образом, отрезок LK делит угол между прямыми DM и CL пополам.

Заметим, что треугольник DMC подобен треугольнику ADO. Следовательно, угол MDC равен углу ADO, который равен arccos(1/3), так как AD является радиусом вписанной в тетраэдр сферы. Значит, угол LKM также равен arccos(1/3).

Итак, угол между прямыми DM и CL равен удвоенному углу LKM, то есть 2arccos(1/3) или около 109.5 градусов.