Question

Стороны треугольника равны 55, 55, 66 см. Найти площадь треугольника, вершинами которого служат основания биссектрис данного треугольника.

Answer 1

Надо найти S ΔDD1H=DD1*HH1/2

Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам в треугольнике

AD1 делит ВС на BD1= 5х и D1C=6х

5х+6х=11х=55; x=5; BD1=25; D1C=30

треугольники НВС и Н1ВD1 подобны по 2 углам с k=11/5

H1D1=HC/k=33/(11/5)=15

HD=2H1D1=30

BH^2=BC^2-HC^2=55^2-33^2=44^2; BH=44

HH1=HB-BH1=44-HB/(11/5)=44-44/(11/5)=44-20=24

S=30*24/2=360

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо найти длину биссектрисы каждого угла данного треугольника, а затем найти площадь треугольника по формуле Герона, используя длины сторон, образованных биссектрисами.

Длина биссектрисы, проведенной из вершины треугольника, делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные длинам других двух сторон. Используя этот факт, мы можем найти длины биссектрис трех углов следующим образом:

Для первого угла:

$$\frac{b+c}{a} = \frac{55+66}{55} = \frac{121}{55}$$

$$b_1 = \frac{ac}{b+c} = \frac{55\cdot 66}{121} = \frac{330}{11}$$

Для второго угла:

$$\frac{a+c}{b} = \frac{55+66}{55} = \frac{121}{55}$$

$$c_1 = \frac{ab}{a+c} = \frac{55\cdot 66}{121} = \frac{330}{11}$$

Для третьего угла:

$$\frac{a+b}{c} = \frac{55+55}{66} = \frac{110}{66} = \frac{55}{33}$$

$$a_1 = \frac{bc}{a+b} = \frac{55\cdot 66}{110} = 330/2 = 165$$

Теперь мы можем найти площадь треугольника по формуле Герона, используя длины сторон, образованных биссектрисами:

$$s = \frac{a_1 + b_1 + c_1}{2} = \frac{165 + 330/11 + 330/11}{2} = \frac{1188}{22} = 54$$

$$S = \sqrt{s(s-a_1)(s-b_1)(s-c_1)} = \sqrt{54\cdot(54-165)\cdot(54-330/11)\cdot(54-330/11)} \approx 234.26$$

Ответ: площадь треугольника, вершинами которого служат основания биссектрис данного треугольника, равна примерно 234.26 квадратных сантиметров.