Question

Решить задачу Коши. 1. y'=3e^x+1 y(0)=1 2.y"=(x/6)+sin(x) y(0)=3 y"(0)=1

Answer 1

1. y = 3eˣ + x + C

y(0) = 3 + C = 1 => C = -2

y = 3eˣ + x - 2

2. y' = x²/12 - cosx + C₁

y'(0) = -1 + C₁ = 1 => C₁ = 2

y = x³/36 - sinx + 2x + C₂

y(0) = C₂ = 3

y = x³/36 - sinx + 2x + 3

Answer 2

1. Решение первой задачи Коши:

Дано уравнение y' = 3e^x + 1 и начальное условие y(0) = 1.

Для решения задачи воспользуемся методом разделения переменных:

y' = 3e^x + 1 y' - 1 = 3e^x Integrating both sides: y - x = 3e^x + C Applying the initial condition y(0) = 1: 1 - 0 = 3e^0 + C C = -2 Therefore, the solution of the given initial value problem is: y = 3e^x + x - 2

2. Решение второй задачи Коши:

Дано уравнение y" = (x/6) + sin(x) и начальные условия y(0) = 3, y'(0) = 1.

Для решения задачи воспользуемся методом интегрирующего множителя:

y" - (x/6) - sin(x) = 0 Multiplying by the integrating factor e^(-x/2): e^(-x/2)y" - (x/6)e^(-x/2)y' - sin(x)e^(-x/2)y = 0 Taking the derivative with respect to x: (e^(-x/2)y')' - (x/6)e^(-x/2)y = 0 Integrating both sides twice: e^(-x/2)y' - (x/6)e^(-x/2)y = C1 e^(-x/2)y - (x/3)e^(-x/2)y' - (1/9)e^(-x/2)y = C2 Applying the initial conditions y(0) = 3 and y'(0) = 1: C1 = 3 C2 = 9/2

Therefore, the solution of the given initial value problem is: y = (3/2)x^2 + 3cos(x) + 3sin(x) - (9/2)e^(x/2)