Question

Найти общее решение дифференциального уравнения ylnydx+(1+x^2)dy=0

Answer 1

$y\cdot lny\cdot dx=-(1+x^2)\cdot dy\\\\\int \frac{dx}{1+x^2}=-\int \frac{dy}{y\cdot lny}\\\\\int \frac{dx}{1+x^2}=-\int \frac{\frac{dy}{y}}{lny}\; ,\; \; \int \frac{dx}{1+x^2}=-\int \frac{d(lny)}{lny}\; \; \; [\; \int \frac{dt}{t}=ln|t|+C\; ,\; t=lny\; ]\\\\arctgx=-ln|lny|+C\\\\ln|lny|=C-arctgx$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения ylnydx + (1 + x^2)dy = 0, следует использовать метод интегрирующего множителя.

Шаг 1: Найдите частные производные уравнения по x и y:

∂M/∂y = ln y + 1 ∂N/∂x = 2x

Шаг 2: Проверьте условие точности:

∂M/∂y = ∂N/∂x, следовательно, уравнение точное.

Шаг 3: Найдите функцию-множитель μ(y):

μ(y) = e^∫(∂M/∂y)dy = e^∫(ln y + 1)dy = y*y

Шаг 4: Умножьте уравнение на μ(y):

y^2 * ylnydx + y^2(1 + x^2)dy = 0

Шаг 5: Запишите уравнение в полном дифференциале:

d(y^3 * ln y/3 + x^3 * y^2 /2) = 0

Шаг 6: Решите уравнение, проинтегрировав его:

y^3 * ln y/3 + x^3 * y^2 /2 = C, где C - произвольная постоянная.

Это общее решение данного дифференциального уравнения.