Question

Доказать что  9a+1/a≥6 при a >0  

Answer 1

9a+1/a>6
(9a^2 + 1)/a > 6
(9a^2 + 1)/a - 6 > 0
 9a^2 + 1 - 6a > 0
a= 1/3

в точке  a=1/3  получается ровно 6, при a > 1/3  будет больше => доказано 

Answer 2

Для доказательства данного неравенства используем неравенство о средних:

Для любых положительных чисел a и b выполняется неравенство: (a + b)/2 ≥ √(ab)

Преобразуем данное неравенство: (a + b)/2 - √(ab) ≥ 0 (a - √(ab))/2 + (b - √(ab))/2 ≥ 0 (a - √(ab))/2 ≥ -(b - √(ab))/2

Теперь применим это неравенство к выражению 9a + 1/a: (9a + 1/a)/2 - √(9a * 1/a) ≥ 0 (9a + 1/a)/2 - 3 ≥ 0 9a + 1/a ≥ 6

Таким образом, мы доказали, что неравенство 9a + 1/a ≥ 6 верно для любого положительного числа a.