Question

При каких значений А решением неравенства (А-3)х≤7 есть промежуток [ 7 / А-3; +∞) ?

Answer 1

Решение:
(а - 3)· х≤7 
1) Если а = 3, то 0·х ≤7 , решениями неравенства являются все действительные числа, данное значение не удовлетворяет условию.
2) Если а > 3, то a - 3 - положительное число, разделим на это число обе части неравенства:
 (а - 3)·х ≤7
х ≤  $\frac{7}{a - 3}$
x ∈  ( - ∞;  $\frac{7}{a - 3}$ ]
Данное решение не удовлетворяет условию задачи.
3) Если а < 3, то a - 3 - отрицательное  число, разделим на это число обе части неравенства, не забудем при это изменить знак самого неравенства:
(а - 3)·х ≤7
х ≥  $\frac{7}{a - 3}$
x ∈ [ $\frac{7}{a - 3}$; + ∞ )
Именно эти значения и указаны в условии.
Ответ: при а, меньших трёх, выполнено данное условие.
(а < 3; а ∈ (- ∞ ; 3) - это другие формы записи того же ответа).

Answer 2

Начнем с неравенства (А-3)х ≤ 7.

Так как (А-3) не равно 0 (иначе мы получим деление на 0, что недопустимо), мы можем безопасно поделить обе части неравенства на (А-3):

х ≤ 7 / (А-3)

Теперь, чтобы решить задачу, нам нужно найти такие значения А, при которых решением неравенства является промежуток [ 7 / А-3; +∞).

Мы знаем, что если х находится в этом промежутке, то он должен быть больше или равен 7 / (А-3):

х ≥ 7 / (А-3)

Соединяя эти два неравенства, получаем:

7 / (А-3) ≤ х ≤ +∞

Таким образом, мы видим, что решением неравенства (А-3)х ≤ 7 будет промежуток [ 7 / А-3; +∞), если и только если:

7 / (А-3) ≤ +∞

Это неравенство выполняется для любого значения А, отличного от 3. Таким образом, ответом на задачу будет:

A ≠ 3.