Question

Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если диагональ образует с одной из его сторон угол 28°.

Answer 1

Ответ:

56° и 124°

Пошаговое объяснение:

Пусть ABCD прямоугольник и О точка пересечения диагоналей. По условию ∠BAO= 28°. Так как в прямоугольника ΔAOB равнобедренный и AO=OB, то ∠ABO=28°. В силу этих заключений имеем ∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=180°-2·28°=180°-56°=124°. Тогда другой угол 180°-124°=56°

Answer 2

Пусть длины сторон прямоугольника равны a и b, а длины его диагоналей равны d1 и d2. Тогда, используя теорему Пифагора, мы можем выразить эти длины следующим образом:

d1^2 = a^2 + b^2 d2^2 = a^2 + b^2

Также мы знаем, что угол между одной из сторон прямоугольника и его диагональю равен 28°. Давайте обозначим эту сторону как a и нарисуем прямоугольник:

cssCopy code
    b
  -----
  |   / |
a| /   |
|/    |
-------

Тогда мы можем записать соотношение между сторонами и углом следующим образом:

tan(28°) = b / a

Отсюда мы можем выразить b:

b = a * tan(28°)

Теперь мы можем подставить это выражение для b в выражения для диагоналей:

d1^2 = a^2 + (a * tan(28°))^2 = a^2 * (1 + tan^2(28°)) d2^2 = (a * tan(28°))^2 + b^2 = a^2 * (tan^2(28°) + 1)

Заметим, что выражения для d1^2 и d2^2 отличаются только в коэффициенте перед скобкой. Поэтому мы можем выразить отношение длин диагоналей как:

d1 / d2 = sqrt(1 + tan^2(28°)) / sqrt(tan^2(28°) + 1)

Приведём эту дробь к более удобному виду, умножив её на sqrt(tan^2(28°) + 1) / sqrt(tan^2(28°) + 1):

d1 / d2 = (sqrt(1 + tan^2(28°)) / sqrt(tan^2(28°) + 1)) * (sqrt(tan^2(28°) + 1) / sqrt(tan^2(28°) + 1)) = sqrt((1 + tan^2(28°)) * (tan^2(28°) + 1)) / (tan^2(28°) + 1)

Теперь нам осталось только вычислить эту дробь:

d1 / d2 = sqrt(1 + tan^2(28°)) = sqrt(1 + (b/a)^2) = sqrt(1 + tan^2(28°)) = sqrt(1 + tan^2(arctan(tan(28°)))) = sqrt(1 + tan^2(28°)) = sqrt(325/221) ≈ 1.186

Таким образом, мы получили, что отношение длин диагоналей равно примерно 1.186.