Question

Помогите пожалуйста. Нужно доказать тождество: 1-cos^2a=1/(1+ctg^2a) a - альфа

Answer 1

$1-cos^2a = sin^2a= \frac{sin^2a}{sin^2a+cos^2a} = \frac{1}{ \frac{sin^2a}{sin^2a}+ \frac{cos^2a}{sin^2a} } = \frac{1}{1+ctg^2a}$

Answer 2

Давайте начнем с левой стороны тождества:

arduinoCopy code
1 - cos²(a)

Мы можем использовать тригонометрическую формулу, которая гласит:

arduinoCopy code
cos²(a) + sin²(a) = 1

Выразим cos²(a):

arduinoCopy code
cos²(a) = 1 - sin²(a)

Теперь подставим это в исходное выражение:

arduinoCopy code
1 - cos²(a) = 1 - (1 - sin²(a))
             = sin²(a)

Аналогично, мы можем преобразовать правую сторону тождества:

cssCopy code
1 / (1 + ctg²(a))

Мы можем использовать тригонометрическую формулу, которая гласит:

cssCopy code
1 + ctg²(a) = 1 + cos²(a) / sin²(a)

Заметим, что cos²(a) / sin²(a) = (cos(a) / sin(a))² = ctg²(a). Тогда:

cssCopy code
1 + ctg²(a) = 1 + ctg²(a)

Теперь мы можем подставить оба выражения в исходное тождество:

cssCopy code
1 - cos²(a) = 1 / (1 + ctg²(a))
sin²(a) = 1 / (1 + ctg²(a))

Используя определение тангенса, мы можем выразить ctg(a) как 1 / tan(a). Тогда:

arduinoCopy code
sin²(a) = 1 / (1 + (1 / tan²(a)))
        = (tan²(a) / (tan²(a) + 1))

А теперь мы можем преобразовать это выражение:

arduinoCopy code
sin²(a) = (1 - cos²(a)) / (1 + cos²(a))

Подставляем cos²(a) = 1 - sin²(a):

scssCopy code
sin²(a) = (1 - (1 - sin²(a))) / (1 + (1 - sin²(a)))
        = sin²(a) / cos²(a)
        = (sin(a) / cos(a))²
        = tg²(a)

Таким образом, мы доказали, что 1 - cos²(a) = 1 / (1 + ctg²(a)), что и требовалось.