Question

Прямая у=-2х+6 является касательной к графику функции у=х^3-3х^2+х+5.Найдите абциссу точки касания.

Answer 1

у=-2х+6 => y`(x0)=-2
y`=3x^2-6x
3x^2-6x+1=-2
3x^2-6x+3=0
x^2-2x+1=0
(x-1)^2=0
x-1=0
x=1
ответ x=1

Answer 2

Абсцисса при х=1, так как значения и параболы и линейной функции в этой точке равны: -2*1+6=4, 1³-3*1²+1+5=-1+5=4.

Ответ: х=1.

Answer 3

Для того, чтобы прямая $y=-2x+6$ была касательной к графику функции $y=x^3-3x^2+x+5$, её угловой коэффициент должен быть равен производной функции в точке касания.

Найдем производную функции:

$y'=3x^2-6x+1$

Теперь найдем точку пересечения прямой и графика функции. Пусть $x$ - это абсцисса точки касания, тогда:

$y=-2x+6=x^3-3x^2+x+5$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$x^3-3x^2+3x+1=0$

Решим это кубическое уравнение. Одним из способов решения кубических уравнений является метод Кардано. Применим его:

1. Находим коэффициенты $p$ и $q$: $p=-\frac{3}{1}= -3$ $q=\frac{1}{1}=1$

2. Вычисляем вспомогательную величину $D$:

   $D=\frac{q^3}{27}+\frac{p^2}{4}=\frac{1}{27}+\frac{9}{4}=\frac{163}{27}$

3. Вычисляем три корня уравнения:

   $x_1 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{D}{4}}}-\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{D}{4}}}-\frac{p}{3}$

   $x_2 = -\frac{1}{2}(1+i\sqrt{3})\sqrt[3]{\frac{163}{27}}-\frac{1}{2}(1-i\sqrt{3})\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{163}{27}}}-\frac{p}{3}$

   $x_3 = -\frac{1}{2}(1-i\sqrt{3})\sqrt[3]{\frac{163}{27}}-\frac{1}{2}(1+i\sqrt{3})\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{163}{27}}}-\frac{p}{3}$

   Вычислим только действительный корень $x_1$:

   $x_1 = \sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{163}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{163}{108}}}-1 \approx -0.73$