Question

Найдите все двузначные числа, которые при делении на 7 дают в остатке 5, а при делении на 19 - остаток 9.

Answer 1

7*1+5=12
7*2+5=19
$7 \times 3 + 5 = 26 \\ 7 \times 4 + 5 = 33 \\ 7 \times 5 + 5 = 40 \\ 40 + 7 = 47 \\ 47 + 7 = 54 \\ 54 + 7 = 61 \\ 61 + 7 = 68 \\ 68 + 7 = 75 \\ 75 + 7 = 82 \\ 82 + 7 = 89 \\ 89 + 7 = 96 \\ 96 \div 7 = 13$
остаток 5

Answer 2

Для того чтобы найти все двузначные числа, удовлетворяющие условиям задачи, можно перебрать все возможные числа в диапазоне от 10 до 99 и проверить каждое из них на соответствие условиям.

Но можно воспользоваться также методом китайской теоремы об остатках. Для этого необходимо найти решение системы уравнений:

x ≡ 5 (mod 7) x ≡ 9 (mod 19)

Используя расширенный алгоритм Евклида, находим решение этой системы уравнений:

x ≡ 161 (mod 133)

Таким образом, все числа, удовлетворяющие условиям задачи, имеют вид:

x = 161 + 133k,

где k - любое целое число.

Ограничивая k двумяцифрами, получим решение задачи:

x = 161, 294, 427, 560, 693, 826, 959.

Ответ: все искомые двузначные числа - 161, 294, 427, 560, 693, 826, 959.