Question

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе равна 9 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу равна 6 см. Вычисли периметр треугольника. Ответ дай до сотых.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Дано:

АВС - прям. треуг

угол С = 90 градусов

СН - высота 

СН = 12 см

НВ = 9 см

найти:

 ВС; син угла В;

кос угла В

 

треуг. СНВ

СН = 12 см (по условию)

НВ = 9 см (по условию)

ВС^2 = СН^2 + НВ^2

ВС^2 = 12^2 + 9^2

ВС^2 = 144+81

ВС^2 = 225

ВС = 15 см

син. угла В = СН/ВС

син. угла В = 12/15 = 0,8

кос. угла В = НВ/ВС

кос. угла В = 9/15 = 0,6

ОТВЕТ: ВС = 15 см

син. угла В = 0,8

кос. угла В = 0,6

Answer 2

Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

Из условия задачи мы знаем, что высота, проведенная к гипотенузе, равна 9 см. По определению высоты в прямоугольном треугольнике, имеем:

$ab = 9c$

Также известно, что проекция одного из катетов на гипотенузу равна 6 см. Обозначим этот катет через $a$, тогда:

$\frac{a^2}{c} = 6$

Отсюда можем выразить $c$:

$c = \frac{a^2}{6}$

Подставляя это выражение для $c$ в первое уравнение, получаем:

$ab = \frac{9a^2}{6}$

Или, упрощая:

$ab = \frac{3}{2}a^2$

Теперь можем выразить второй катет через $a$:

$b = \frac{3a}{2}$

Используя теорему Пифагора для треугольника, имеем:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставляем найденные выражения для $b$ и $c$:

$a^2 + \left(\frac{3a}{2}\right)^2 = \left(\frac{a^2}{6}\right)^2$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$\frac{5a^2}{4} = \frac{a^4}{36}$

Умножаем обе части на 36 и решаем получившееся квадратное уравнение:

$9a^4 - 90a^2 = 0$

$a^2(9a^2 - 90) = 0$

Получаем два решения: $a = 0$ (не подходит, так как это не длина стороны) и $a = \sqrt{10} \cdot 3$. Тогда $b = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot 3$ и $c = \frac{1}{6} \cdot 10 \cdot 9 = 15$.

Теперь можем найти периметр треугольника:

$P = a + b + c = \sqrt{10} \cdot 3 + \frac{3}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot 3 + 15 \approx \boxed{36.08}$

Ответ: 36.08.