Question

Решите неравенство (x-9)^2<корень 2(x-9)

Answer 1

Начнем с извлечения корня из обеих сторон неравенства, чтобы избавиться от корня:

√(x-9)² < √2√(x-9)

Поскольку мы берем квадратный корень из обеих сторон, то мы можем опустить знаки корня:

x-9 < 2√(x-9)

Теперь переместим все переменные на одну сторону, а все константы на другую:

x - 2√(x-9) - 9 < 0

Для решения этого неравенства мы можем ввести замену переменной:

y = √(x-9)

Тогда наше неравенство примет вид:

y^2 - 2y - 9 < 0

Мы можем решить это неравенство, используя метод интервалов знакопостоянства. Для этого найдем корни квадратного трехчлена:

y1 = 3, y2 = -3

Теперь мы можем построить таблицу интервалов:

y < -3: (-) (-) (+) -3 < y < 3: (-) (+) (-) y > 3: (+) (-) (-)

Где (+) обозначает положительное число, а (-) - отрицательное. Мы ищем значения y, при которых неравенство y^2 - 2y - 9 < 0 выполняется, то есть значения y, для которых функция имеет отрицательные значения.

Из таблицы видно, что неравенство выполняется на интервале -3 < y < 3, т.е.

-3 < √(x-9) < 3

Квадрат обеих сторон:

9 < x-9 < 9

x > 18

Таким образом, решением исходного неравенства являются все значения x, которые больше 18:

x > 18.