Question

Докажите что треугольник равнобедренный если его стороны являются медианами квадрата

Answer 1

В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны. 

Пусть АВС - равнобедренный треугольник АВ=ВС

Пусть AK, CL - медианы проведенные соотвественно к боковым сторонам ВС и АВ.

 Треугольники AKC CLA равны за двумя сторонами и углом между ними

CK=AL, так как СК=BK=1\2BC=1\2AB=AL=BL(из определения медианы и равенства боковых сторон)

угол А=угол С - как углы при основании равнобедренного треугольника

АС=СА - очевидно.

Из равенства треугольников следует равенство медиан, проведенных к боковым сторонам

AK=CL/ Доказали

Answer 2

Пусть дан треугольник ABC, в котором медианы AB, BC и AC являются сторонами квадрата XYZW. Для удобства обозначим точку пересечения медиан как точку M.

Сначала заметим, что медианы треугольника делят его на 6 равных треугольников. Действительно, пусть D и E - середины сторон AB и AC соответственно. Тогда треугольник ABD подобен треугольнику AMC с коэффициентом 2:1, так как AM является медианой треугольника ABC, а DM является медианой треугольника ABD. Аналогично, треугольник AEC подобен треугольнику BMC с коэффициентом 2:1. Из подобия следует, что BD/DM = CE/EM = 1/2, то есть DM = EM = 1/2 BC. Аналогично, можно показать, что AM = BM = CM.

Теперь обратимся к квадрату XYZW. Так как AM является медианой квадрата, она проходит через его центр O. Аналогично, BM и CM проходят через O. Значит, точка O является точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Таким образом, мы получили, что точка O - центр квадрата, лежит на медианах треугольника ABC. Значит, треугольник ABC - равнобедренный, так как AM = BM = CM.

Итак, мы доказали, что если медианы треугольника ABC являются сторонами квадрата XYZW, то треугольник ABC - равнобедренный.