Question

Натуральные числа а1,а2,а3,...а49 таковы, что а1+а2+а3+...+a49=540 Найдите наибольшее возможное значение наибольшего общего делителя этих чисел

Answer 1

Заметим, что НОД чисел не больше любого из них.

Тогда НОД≤540/49=11 1/49. Так как НОД целое число и нам нужно наибольшее значение, будем рассматривать случаи для НОД = 11 и меньше.

Пусть НОД равен 11. Тогда наименьшая возможная сумма чисел равна 11*49=539=540-1. Получается, что единственный набор чисел, который мог бы удовлетворять условию, это 48 чисел 11 и одно число 12. Но 12 не кратно 11, поэтому этот случай отпадает.

Пусть НОД=10. Тогда наименьшая возможная сумма чисел равна 10*49=490=540-50. Нетрудно заметить, что набор из 48 чисел 10 и одного числа 60 удовлетворяет условию.

Значит максимальное значение НОД таких чисел равно 10.

Answer 2

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел а1, а2, а3,..., а49, следует разложить каждое число на простые множители и определить, какие простые множители содержатся в каждом из этих чисел.

Заметим, что 540 является кратным числу 49, а также сумма 1+2+3+...+49. Поэтому мы можем разделить числа a1, a2, a3, ..., a49 на две группы: первая группа содержит числа, которые делятся на 49, а вторая группа содержит числа, которые не делятся на 49.

Числа, которые делятся на 49, будут иметь общий множитель 49. Так как общий множитель не может быть больше, чем наибольшее число, делящееся на 49, то наибольший общий делитель будет не больше 49.

Для чисел, которые не делятся на 49, мы можем заметить, что их сумма не превышает 540 - 49 = 491. Так как сумма 1+2+3+...+49 равна 1225, то сумма чисел, не делящихся на 49, равна 1225 - 540 = 685.

Таким образом, мы можем написать:

а1 + а2 + ... + а49 = 49k + (685 - k),

где k - это количество чисел, делящихся на 49.

Как уже отмечалось, наибольший общий делитель не может быть больше, чем наибольшее число, делящееся на 49, то есть 49. Поэтому мы будем искать максимальный общий делитель, который делится на 49.

Для этого рассмотрим НОД чисел, не делящихся на 49. Так как эти числа имеют общую сумму 685, то их НОД не может быть больше 685.

Далее рассмотрим НОД чисел, делящихся на 49. Заметим, что любые два числа, делящиеся на 49, имеют общий множитель 49. Поэтому наибольший общий делитель чисел, делящихся на 49, будет равен 49, если и только если все числа, делящиеся на 49, равны 49. В противном случае, НОД будет равен максимальному числу, делящемуся на 49.

Таким образом, чтобы максимизировать НОД, мы должны сделать все числа, делящиеся на 49, равными 49. Тогда сум