Question

3sinx/5=2cos^2(Pi+x/5) Напишите подробно решение, пожалуйста

Answer 1

3*sin(x/5)=2cos²(π+x/5)

2*cos²(π+x/5)=2*(cos(π+x/5))²=2*(-cos(x/5))²=2*cos²(x/5)=2*(1-sin²(x/5))

3*sin(x/5)=2-2*sin²(x/5),  2*sin²(x/5)+3*sin(x/5)-2=0
замена переменных: sin(x/5)=t, t∈[-1;1]
2t²+3t-2=0. D=25. t₁=-2,  -2<0 не подходит
t₂=1/2
обратная замена:
t=1/2, sin(x/5)=1/2
x/5=(-1)^x *arcsin(1/2)+πn, n∈Z
x/5=(-1)^n *(π/6)+πn, n∈Z |*5
x=(-1)^n *(5π/6)+5πn, n∈Z

Answer 2

Дано уравнение:

3sin(x)/5 = 2cos^2(π + x/5)

Сначала решим правую часть уравнения:

cos(π + x/5) = -cos(x/5)

Заменяем в уравнении:

3sin(x)/5 = 2(-cos(x/5))^2

3sin(x)/5 = 2cos^2(x/5)

Далее, заменяем sin(x) на cos(x - π/2) и упрощаем выражение:

3cos(x - π/2)/5 = 2cos^2(x/5)

3cos(x - π/2)/5 = 2cos^2(x)/25

Умножаем обе части уравнения на 25:

15cos(x - π/2) = 8cos^2(x)

15sin(x) = 8cos^2(x)

15sin(x) = 8(1 - sin^2(x))

8sin^2(x) + 15sin(x) - 8 = 0

Решаем квадратное уравнение:

sin(x) = (-15 ± √(15^2 + 256))/16

sin(x) = (-15 ± √361)/16

sin(x) = (-15 ± 19)/16

sin(x) = -1 или sin(x) = -4/19

Так как -1 не входит в область определения sin(x), то решением уравнения является:

x = arcsin(-4/19) + 2πk, где k - любое целое число.

Одно из решений можно найти с помощью калькулятора:

arcsin(-4/19) ≈ -0.22

Таким образом, решениями уравнения являются:

x ≈ 2πk - 0.22, где k - любое целое число.