Question

Вычислите значение производной функции y=sinx-2x в точке x0=0

Answer 1

$y=\sin x -2x \medskip \\ y'=\left(\sin x - 2x\right)'=(\sin x)'-2(x)'=\cos x -2\cdot 1=\cos x -2 \medskip \\ x_0=0 \medskip \\ y'(x_0)=\cos(0) -2=1-2=-1$

Answer 2

Для вычисления производной функции необходимо найти предел приращения функции при бесконечно малом приращении аргумента. Формально это записывается как:

y'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

где h - бесконечно малое приращение аргумента.

Применяя эту формулу к функции y = sin(x) - 2x, получаем:

y'(0) = lim (h -> 0) [sin(0 + h) - 2(0 + h) - (sin(0) - 2(0))] / h = lim (h -> 0) [sin(h) - 2h] / h

Применим формулу приведения для синуса:

sin(h) = h - h^3/3! + h^5/5! - ...

Тогда:

y'(0) = lim (h -> 0) [(h - 2h) - (h^3/3! - h^5/5! + ...)] / h = lim (h -> 0) (-2 + h^2/3! - h^4/5! + ...) = -2

Таким образом, производная функции y = sin(x) - 2x в точке x0=0 равна -2.