Question

Существует ли внутри треугольника abc точка o такая, что если провести прямые ao, bo и co, то треугольник abc разобьется на 6 треугольников равной площади

Answer 1

Существует. В равностороннем треугольнике биссектриса каждого угла является также медианой и высотой. Все они пересекаются в одной точке, и каждая из них образует по 2 равных прямоугольных треугольника, равных между собой. Следовательно, их площади также равны.
                     S = 1/2 * a/2 * √(3a²/4),
где а - сторона равностороннего треугольника и гипотенуза прямоугольного треугольника.

Answer 2

Да, такая точка существует и называется центром тяжести (центром масс) треугольника. Центр тяжести является пересечением медиан треугольника (отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон).

Чтобы показать, что центр тяжести делит треугольник на шесть равных треугольников, рассмотрим произвольный треугольник ABC и его центр тяжести G. Проведем медиану AD и обозначим точку ее пересечения с BC как E.

Тогда мы знаем, что медиана AD делит треугольник ABC на два треугольника равной площади. А так как G делит медиану AD в отношении 2:1 (то есть AG:GD=2:1), то площади треугольников AGB и GDC также равны.

Аналогично, проводя медианы BE и CF и рассматривая треугольники BGC и GEA, а также треугольники AGF и CFD, мы можем показать, что все шесть треугольников, на которые разбивается треугольник ABC прямыми AO, BO и CO, имеют равную площадь.