Question

Помогите пожалуйста найти максимумы функции y=2x^3-8x

Answer 1

Y=2x^3-8x
y'=6x^2-8
6x^2-8=0
3x^2=4
x^2=4/3
x1= -sqrt(4/3), x2=sqrt(4/3)
++++++________---------------________++++++++           знак производной
    ↑        -sqrt(4/3)        ↓             sqrt(4/3)      ↑                      поведение функции

xmax= -sqrt(4/3)
ymax=y(xmax)=y(-sqrt(4/3))=32sqrt(3)/9

Answer 2

Для нахождения максимумов функции нужно произвести дифференцирование функции и приравнять его к нулю, а затем решить уравнение относительно x. Максимумы функции находятся в точках экстремума, т.е. в точках, где первая производная равна нулю, а вторая производная отрицательна.

Таким образом, найдем первую производную функции:

y' = 6x^2 - 8

Затем приравняем ее к нулю и решим уравнение относительно x:

6x^2 - 8 = 0 6x^2 = 8 x^2 = 8/6 x^2 = 4/3 x = +/- sqrt(4/3)

Таким образом, функция имеет две точки экстремума: x1 = -sqrt(4/3) ≈ -1.15 x2 = sqrt(4/3) ≈ 1.15

Для того чтобы определить, является ли каждая из этих точек максимумом, необходимо проанализировать знак второй производной функции в каждой точке.

y'' = 12x

Подставим найденные значения x:

y''(x1) = 12*(-sqrt(4/3)) ≈ -9.24 y''(x2) = 12*sqrt(4/3) ≈ 9.24

Так как вторая производная отрицательна в точке x1 и положительна в точке x2, то функция имеет максимум в точке x2 и минимум в точке x1.

Итак, максимум функции y = 2x^3 - 8x равен:

y(x2) = 2*(sqrt(4/3))^3 - 8*(sqrt(4/3)) ≈ -7.54

Аргумент, соответствующий этому максимуму, равен x2 ≈ 1.15.